Número mínimo de generadores de un ideal homogéneo (ejercicio de Hartshorne)

Question

En el primer capítulo Hartshorne propone el siguiente ejercicio aparentemente trivial (ej. I.2.17(ii)):

Demuestre que una intersección completa estricta es una intersección completa teórica de conjuntos.

He aquí las definiciones de Hartshorne:

Una variedad $Y$ de dimensión $r$ en $\mathbb{P}^n$ es una intersección completa (estricta) si $I(Y)$ puede generarse mediante $n-r$ elementos. $Y$ es una intersección completa set-teórica si $Y$ puede escribirse como la intersección de $n-r$ hipersuperficies.

Aquí $I(Y)$ es el ideal homogéneo de $Y$ . La cuestión es que la primera definición parece errónea, ya que uno exigiría naturalmente que $I(Y)$ puede generarse mediante $n-r$ homogéneo elementos (con esta definición el ejercicio se vuelve trivial).

Nunca me he decidido si se trata de una errata de Hartshorne. Así que la pregunta es

¿Es cierto que en un anillo polinómico cualquier ideal homogéneo generado por $k$ también se genera mediante $k$ ¿elementos homogéneos?

Si recuerdo bien no es difícil encontrar contraejemplos en anillos graduados que no sean anillos polinómicos, así que el objetivo del ejercicio puede ser demostrar que los anillos polinómicos tienen esta propiedad especial.

Answer 1

Querida Andrea: Hartshorne tenía razón, pero tenemos que trabajar un poco. Deje que $\mu(I)$ sea el número mínimo de generadores de $I$ y $\mu_h(I)$ sea el número mínimo de un sistema homogéneo de generadores de $I$ . Sea $R=k[x_1,\dots,x_n]$ y $\mathfrak m=(x_1,\dots,x_n)$ . Supongamos que $\mu_h(I)=m$ y $f_1,\dots, f_m$ es un conjunto mínimo homogéneo de generadores. En este punto pasamos al anillo local $A=R_{\mathfrak m}$ (la razón: es más fácil hacer álgebra lineal sobre anillos locales, ya que cualquier cosa que no esté en $\mathfrak m$ es ahora invertible). No afectará a nada, ya que $I\subset\mathfrak m$ .

Construir un mapa suryectivo $F_0 = \bigoplus_{i=1}^m A(-\deg \ f_i) \to I \to 0$ y que $K$ sea el núcleo. Afirmamos que $K \subset\mathfrak mF_0$ . Si no, entonces se puede encontrar un elemento $(a_1,...,a_m) \in K$ tal que $\sum a_if_i=0$ y $a_1$ tiene un título $0$ plazo $u_1\neq 0$ . Considerando términos del mismo grado en la suma se ve que hay $b_i$ s tal que: $$u_1f_1 = \sum_{i=2}^m b_if_i$$ por lo que el sistema no es mínimo, ya que $u_1 \in k$ contradicción.

Ahora tensando la secuencia $$ 0 \to K \to F_0 \to I \to 0$$ con $k=A/\mathfrak m$ . Por la reclamación $K\subset\mathfrak mF_0$ Así que $F\otimes k \cong I\otimes k$ . De ello se deduce que $m= \operatorname{rank} F_0 = \dim_k(I\otimes k)$ . Pero sobre un anillo local, el último término es exactamente $\mu(I)$ y ya está.