Demostrando que $\mathbb{R}P^n$ es un múltiple

Question

Considere $\mathbb{R}P^n$ como espacio cociente de $S^n$ con puntos antípodas identificados. Demostrar que $\mathbb{R}P^n$ es una variedad de dimensión $n$ .

(Me gustaría aclarar que he visto la solución a este exersice cuando vemos $\mathbb{R}P^n$ como cociente de $\mathbb{R}^{n+1}$ con líneas identificadas. Me gustaría saber si la misma respuesta resolvería el problema cuando es cociente de $S^n$ .)

Ya he demostrado $\mathbb{R}P^n$ es $T_2$ y segundo contable. Haciendo lo mismo cuando $\mathbb{R}P^n$ es cociente de $\mathbb{R}^{n+1}$ considero el conjunto abierto:

$$V_i=\{x\in S^n:x_i\neq 0\},\quad \quad i=1,...,n+1,$$

y $$F_i:V_i\to\mathbb{R}^n,\quad F_i(x_1,...,x_{n+1})=\dfrac{1}{x_i}(x_1,..,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n).$$

Y entonces uno debe probar que $\phi_i:\pi(V_i)\to\mathbb{R}^n$ dado por $\phi_i(\pi(x))=F_i(x)$ es un homeomorfismo (donde $\pi$ es la proyección, que está abierta).

Ya he demostrado $\phi _i$ es inyectiva y continua, pero no puedo demostrar que sea suryectiva. Si tomamos cualquier $(x_1,..,x_n)\in\mathbb{R}^n$ la elección natural sería: $$F_i(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i},...,x_n)=(x_1,...,x_n).$$

Pero $(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i},...,x_n)$ no necesita estar en $S^n$ . Además, ¿cuál sería $\phi^{-1}$ ? (Para demostrar que la inversa es continua...)

O tal vez $\phi_i$ no es suryectiva y necesitamos otra función. ¿Alguna ayuda?

Gracias, señor.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$ Tenga en cuenta que $V_{i}$ consiste en dos hemisferios abiertos, así que $F_{i}$ no es inyectiva, pero $2$ -to- $1$ . (Concretamente, $F_{i}(-x) = F_{i}(x)$ para todos $x$ en $V_{i}$ . En consecuencia, $F_{i}$ induce el mapeo $\phi_{i}:U_{i} = \{[x] \in \Reals\Proj^{n}: x_{i} \neq 0\} \to \Reals^{n}$ que es continua e inyectiva, como has demostrado).

Para trabajar con la esfera, puede ser conveniente introducir los hemisferios $$ V_{i}^{\pm} = \{x \in S^{n} : \pm x_{i} > 0\}. $$

Un inverso $G_{i}^{\pm}:\Reals^{n} \to V_{i}^{\pm}$ de $F_{i}^{\pm}:V_{i}^{\pm} \to \Reals^{n}$ es $$ G_{i}^{\pm}(x_{1}, \dots, x_{n}) = \pm\frac{(x_{1}, \dots, x_{i-1}, 1, x_{i+1}, \dots, x_{n})} {\|(x_{1}, \dots, x_{i-1}, 1, x_{i+1}, \dots, x_{n})\|}. $$ Subjetividad de $\phi_{i}$ se deduce de la invertibilidad de $F_{i}^{\pm}$ .