¿Por qué la derivada de una función seno es una función coseno?

Question

Tengo dificultades para encontrar PALABRAS para explicar por qué la derivada de una función seno es una función coseno. ¿Por qué? ¿Cómo puedo escribir algunas oraciones que expliquen por qué sucede esto? Sigo ejemplo tras ejemplo resolviendo problemas similares pero todavía no entiendo lo suficiente como para explicarlo con palabras.

Agradecería algo de ayuda.

Gracias, Tony.

Answer 1

Considera la curva $f(t)=(\cos t,\sin t)$. Esta curva se mueve alrededor de un círculo unitario en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que la derivada de esta curva debe ser tangente al círculo.

La velocidad en el tiempo $t$ debe tener longitud $1$ porque la curva recorre una longitud de $2\pi$ entre $t=0$ y $t=2\pi$, y el comportamiento es "regular" - la velocidad es la misma en cada $t$, solo cambia la dirección.

Entonces, la derivada, $f'(t),$ tiene que ser el vector tangente en el círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Por lo tanto, es perpendicular a $f(t)$ y debe tener longitud $1$. Esto muestra que $f'(t)=(-\sin t,\cos t).

En particular, entonces, la derivada de $\sin t$ es $\cos t$.

Si deseas una prueba rigurosa, puedes escribir:

$$\sin(x+h)=\sin x\cos h + \cos x \sin h$$

De esta forma $\sin(x+h)-\sin x = \sin x (\cos h-1) + \cos x \sin h$, dividiendo por $h$, tendrías lo siguiente:

$$\frac{\sin(x+h)-\sin h}{h} = \sin x \frac{\cos h - 1}{h} +\cos x \frac{\sin h}{h}$$

Así que ahora solo necesitas conocer los límites:

$$\lim_{h\to 0} \frac{\cos h-1}{h} = 0$$ $$\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$$

En otras palabras, solo necesitas las derivadas en $x=0$.

Hay pruebas geométricas de este caso. Por ejemplo, la distancia entre $(\cos x,\sin x)$ y $(1,0)$ es $\sqrt{2-2\cos x}$, que necesariamente es menor que la longitud del arco desde $(\cos x,\sin x)$ a $(1,0)$, que es de longitud $|x|$. Así que:

$$\sqrt{2-2\cos x} \leq |x|\implies\\2-2\cos x \leq x^2\implies \\\left|\frac{\cos x -1}{x}\right|<|x|$$

Por lo tanto, $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x -1}{x} = 0$.

Para $\sin$, podemos mostrar que $\sin h \leq h \leq \tan h$ cuando $h>0$.

Answer 2

Observa que $\sin \theta$ tiene máximos y mínimos donde $\cos \theta$ tiene ceros. Del mismo modo, las pendientes de las rectas tangentes de $\sin \theta$ son 1 y -1 precisamente donde $\cos \theta$ alcanza esos valores.

Ahora bien, eso no explica por qué $\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta$ en todas partes, pero es una buena manera de recordar la relación.