Hallar el determinante de orden $n+1$

Question

Hallar el determinante de orden $n+1$ :

$D_n=\begin{vmatrix} 0&1&0&0&\ldots&0&0\\ 1&0&2&0&\ldots&0&0\\ 0&2&0&3&\ldots&0&0\\ 0&0&3&0&\ldots&0&0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\ 0&0&0&0&\ldots&0&n\\ 0&0&0&0&\ldots&n&0 \end{vmatrix}$

He intentado desarrollarlo con el método de Laplace, añadiendo filas/columnas, pero no me ha servido de mucho. Por favor, dame algunas pistas, ¡gracias!

Answer 1

Este es un caso de determinante tridiagonal. Expandiéndolo a lo largo de la última fila (o columna) se puede demostrar la relación de recurrencia: $$D_n=-n^2D_{n-2}.$$ De esta relación se deduce que $$D_n=\begin{cases}(-1)^{\tfrac{n+1}2}(1\cdot 3\cdot \dotsm \cdot n)^2&\text{if $n$ is odd,}\\0&\text{if $n$ is even.}\end{cases}$$

Answer 2

Parece que en este caso concreto es extrañamente factible aplicar simplemente la expresión suma del determinante (denominada aquí fórmula de Leibniz: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#n_.C3.97_n_matrices ) y calcular directamente ésta.

Un término distinto de cero en el determinante debe contener los dos unos (1) de la matriz (¿entiendes por qué?). Esto elimina los doses de aparecer en un término, ya que se encuentran en la misma columna o fila como un uno, y esto obliga a los treses a estar en el término. Se puede proceder de manera similar en dos patrones en zig-zag intercalados a lo largo de la diagonal para ver que todos los números pares se eliminan de aparecer en un término distinto de cero en el determinante y que todas las entradas impar deben aparecer.

Si $n$ es par, esto significa que la última columna y fila no pueden ser cubiertas por ningún término distinto de cero del determinante, por lo que el determinante será cero, y si $n$ es impar, el determinante acabará siendo distinto de cero ya que todas las filas y columnas están cubiertas, y el determinante consiste entonces en un único término igual en magnitud al producto de los cuadrados de todos los números impar en $[1,n]$ . El signo viene determinado por la paridad de la permutación $(1,2)(3,4)\ldots(n,n+1)$ pero afortunadamente esta permutación ya está factorizada en $(n+1)/2$ transposiciones.

Así que resumiendo, lo determinante es:

• $0$ si $n$ es par,
• $(-1)^{(n+1)/2}\prod_{i=0}^{(n-1)/2} (2i+1)^2$ si $n$ es impar.

El límite superior del producto anterior se fija cuidadosamente para que terminemos con $i=n$ Por eso está el signo menos.

Answer 3

Mi respuesta es similar a la dada por A.Sh, pero con algunas diferencias.

Sea $A$ sea la matriz dada.

Tenga en cuenta que $A$ sólo tiene una diagonal generalizada con producto distinto de cero, a saber, la diagonal $D$ formado por todas las celdas cuyo valor es un entero positivo impar.

De ello se deduce que $\text{det}(A) = \text{det}(B)$ donde $B$ es la matriz obtenida a partir de $A$ fijando todas las celdas que no estén en $D$ a cero.

Procedemos a encontrar $\text{det}(B)$ . . .

Primero supongamos $n$ es par.

A continuación, la última fila de $B$ es cero, por lo tanto $\text{det}(B) = 0$ .

Siguiente suposición $n$ es impar.

Entonces $B$ es una matriz diagonal de bloques con $2\,{\times}\,2$ bloques cuadrados.

De ello se deduce que $\text{det}(B)$ es el producto de los determinantes de los $2\,{\times}\,2$ por lo que

\begin{align*} \text{det}(B) &=(-1^2)(-(3^2)\cdots (-(n^2))\\[6pt] &=(-1)^{(n+1)/2}(1\cdot 3\cdots n)^2\\[6pt] \end{align*}