Encuentre $E[1/X^2]$ utilizando la densidad de $X$

Question

Un número aleatorio $X$ se muestrea con la siguiente densidad de probabilidad
$$f(x) = \begin{cases} \frac32x^2(1-x), & \text{if $x$ is in [-1, 1]} \\ 0, & \text{else} \end{cases} $$ Definimos otra variable aleatoria mediante $Y=\frac{1}{X^2}$ . Visite $E[Y]$ utilizando la densidad de $X$ .

No estoy completamente seguro de cómo hacerlo, ¿sustituyo $\frac{1}{X^2}$ en la densidad de X y hallar E[Y] con la integral? Sé que Y está definida sólo en (0, 1] e indefinida en 0. He calculado la cdf de Y para ser: $$ F(Y) = \begin{cases} \pm \sqrt{\frac1Y}, & \text{if $Y$ is in (0, 1]} \\ 0, & \text{else} \end{cases} $$ ¿Es correcto?

Answer 1

La forma más sencilla es aplicar el Ley del Estadístico Inconsciente (véase Wikipedia). Si $Y=\frac{1}{X^2}$ entonces $$E(Y)=\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\cdot \frac{3}{2}x^2(1-x)\,dx.$$

Una forma mucho más difícil, en este caso, es encontrar la distribución de $Y$ y utilizar el resultado para hallar $E(Y)$ .

Tenga en cuenta que $Y$ toma valores en el intervalo $[1,\infty)$ . Encontramos la fdc $F_Y(y)$ . Entonces podemos hallar la función de densidad $f_Y(y)$ y utilizarlo de la forma habitual para encontrar $E(Y)$ . Sólo mostraremos el cálculo de la fdc. ¡No será agradable!

Para $y\ge 1$ tenemos $$F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=\Pr\left(\frac{1}{X^2}\le y\right)=\Pr\left(X^2\ge \frac{1}{y}\right)=\Pr\left(|X|\ge \frac{1}{\sqrt{y}}\right).$$

De ello se deduce que $$F_Y(y)=1-\Pr\left(|X|\lt \frac{1}{\sqrt{y}}\right)=1-\int_{-1/\sqrt{y}}^{1/\sqrt{y}} \frac{3}{2}x^2(1-x)\,dx$$ para $y\ge 1$ .

Ahora a encontrar $f_Y(y)$ integramos, y luego diferenciamos, o diferenciamos bajo el signo intgral, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.