Resolver con una función generadora. Mi solución fue $$g(x)=\left(\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!}\right)^4 \left(\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... \right)^{26-4}$$ $$g(x) = (1 + x)^4e^{22x}$$ $$g(x) =\left( \binom{4}{0}x^0 + ... +\binom{4}{r}x^r... + \binom{4}{4}x^4\right)\sum\nolimits 22^r \frac{x^r}{r!}$$
Entonces estamos tratando de encontrar el coeficiente del décimo término que denoto como $a_{10}$ $$g(x) = h(x)f(x)$$ donde $h(x) = (1 +x)^4$ y $f(x) = e^{22x}$ $$g_{10} =h_0f_{10} + h_1f_{9} + h_2f_{8} + h_3f_{7} + h_4f_{6} $$
$$ = \binom{4}{0}22^{10} + \binom{4}{1}22^{9} + \binom{4}{2}22^{8} + \binom{4}{3}22^{7} + \binom{4}{4}22^{6} $$
Ahora bien, esto no es correcto y en cambio se supone que sí lo es: $$ = \binom{4}{0}\frac{10!}{10!}22^{10} + \binom{4}{1}\frac{10!}{9!}22^{9} + \binom{4}{2}\frac{10!}{8!}22^{8} + \binom{4}{3}\frac{10!}{7!}22^{7} + \binom{4}{4}\frac{10!}{6!}22^{6} $$
1) La expresión correcta parece incluir $\binom{4}{r}\frac{10!}{(10-r)!}$ para evaluar los coeficientes de $h(x)$ ¿pero por qué?
2) Si esto es correcto, ¿por qué utilizamos dos valores diferentes para $n$ ? Fabricamos $n=4$ para evaluar el coeficiente de $(1+x)^4$ pero luego de alguna manera incorporar $n=10$ para $P(n,r)$
