Mostrar el anillo $(\mathbb Z/4)[x]$ no es un anillo ideal principal

Question

Mostrar el anillo $(\mathbb Z/4)[x]$ no es un anillo ideal principal.

Lo que sé: Lo ideal $(2,x)$ es un ideal de $(\mathbb Z/4)[x]$ y si fuera principal, entonces su imagen en $(\mathbb Z/(4,x^2))[x]$ es tal que $(2,x)=(2+x)$ en esta imagen, entonces ¿a dónde voy desde aquí? $(\mathbb Z/4)$ ? Si es así, no estoy seguro de cómo.

O tal vez haya una forma mejor que la anterior.

Answer 1

Buena idea $(2,x)$ .

Yo recomendaría abordarlo escribiendo las ecuaciones que $(2,x)$ principal implicaría, es decir, tendríamos polinomios $f,g,h,u,v$ tal que $$2f + xg = h$$ $$hu = 2$$ $$hv = x$$

Lo importante es tener en cuenta que lo ideal $(2)$ es primo en $(\mathbb{Z}/4)[x]$ (el cociente en (2) da como resultado $(\mathbb{Z}/2)[x]$ claramente un dominio). Por lo tanto $2 \mid h$ o $2 \mid u$ .

Si escribes toda la información que te dan estas tres ecuaciones sobre el término constante de $h$ llegarás a la contradicción necesaria.

Answer 2

1. $(2,x)$ es un ideal propio, no contiene $1$ . si $1=2a(x)+xb(x)$ , $2=2(2a(x)+xb(x))=2xb(x)$ . Si $2b(x)=0$ , $2xb(x)=0$ contradicción. Si $2b(x)\neq 0$ el grado de $2xb(x)$ es superior a $1$ contradicción.

Supongamos que $(2,x)=(a(x))$ en $(\mathbb{Z}/4)[x]$ . El cociente $(\mathbb{Z}/4)[x]/(2)=\mathbb{Z}/2[x]$ . Sea $p$ sea el mapa cociente, $p(2,x)$ es el ideal de $\ mathbb{Z}[x]$ generado por $x$ esto implica que podemos suponer que $p(a(x))=x$ deducimos que $a(x)=x+2b(x)$ .

Escriba a $2=(x+2b(x))u(x)$ , en $\mathbb{Z}/4[x]$ mutiplicando la ecuación por $2$ deducimos que $(x+2b(x))2u(x)=2u(x)=0$ deducimos que $u(x)=2v(x)$ y $2=(x+2b(x))2v(x))=2xv(x)=x(2v(x))$ contradicción.