Probar el rastro de una transformación es independiente de la base elegida

Question

¿Cómo probaría que el rastro de una transformación de V a V (donde V es de dimensión finita) es independiente de la base elegida?

Answer 1

La forma más sencilla es observar que una transformación de base de una transformación $T$ se realiza a través de $ATA^{-1}$ donde $A$ es una matriz invertible, y que la traza tiene la propiedad $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ . Juntando todo esto, se obtiene $$\operatorname{tr}(ATA^{-1}) = \operatorname{tr}(A^{-1}AT) = \operatorname{tr}T$$

Answer 2

Una prueba elemental podría ser la siguiente. En primer lugar, dejemos que $A$ sea la matriz de su transformación lineal en cualquier base de $V$ . El polinomio característico de $A$ es

$$ Q_A(t) = \mathrm{det}\ (A - tI) = \begin{vmatrix} a^1_1 - t & a^1_2 & \dots & a^1_n \\ a^2_1 & a^2_2 - t & \dots & a^2_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^n_1 & a^2_2 & \dots & a^n_n - t \end{vmatrix} $$

Puedes calcular fácilmente al menos los primeros términos de este polinomio teniendo en cuenta que, por la definición del determinante:

$$ Q_A(t) = (a^1_1 -t)\cdot \dots \cdot (a^n_n - t) + \quad \text{sums of products with at most $ n-2 $ terms in the diagonal} \quad \ . $$ Por lo tanto, $$ Q_A(t) = (-1)^n t^n +(-1)^{n-1} (a^1_1 + \dots + a^n_n) t^{n-1} + \quad ( \text{terms of degree}\ \leq n-2 ) \ . $$

Es decir, hasta una señal, el rastro de $A$ es el coeficiente de $t^{n-1}$ en el polinomio característico de $A$ , $Q_A(t)$ .

Ahora puede demostrar que $Q_A(t)$ no depende de la base que haya elegido. De hecho, si $B$ es la matriz de la misma transformación lineal en otra base, entonces $A$ y $B$ están relacionados a través de una igualdad como $B= S^{-1}A S$ , donde $S$ es la matriz de cambio de base. Así que

$$ Q_B(t) = \mathrm{det}\ (S^{-1}A S - tI ) = \mathrm{det}\ (S^{-1}A S - S^{-1}tIS ) = \mathrm{det}\ (S^{-1}(A - tI)S ) $$

Así,

$$ Q_B(t) = \mathrm{det}\ (S^{-1}) \ \mathrm{det}\ (A - tI )\ \mathrm{det}\ (S) = \mathrm{det}\ (A - tI ) = Q_A(t) \ . $$

Por lo tanto, el polinomio característico es invariable por el cambio de base. En particular, también lo son sus coeficientes. Más concretamente, la traza.

Answer 3

Hay varias maneras de ver esto. La más sencilla es que si tienes dos $n \times n$ matrices $A, B$ entonces $$ \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA). $$ Este es un cálculo fácil.

Alternativamente (algunas de las palabras pueden ser desconocidas para usted, en cuyo caso ignore esta parte), observe que tenemos un isomorfismo canónico $\operatorname{End}(V) \approx V \otimes V^\vee$ y que el trazo en $\operatorname{End}(V)$ corresponde al funcional en $V \otimes V^\vee$ inducido por el emparejamiento bilineal natural de evaluación entre $V$ y $V^\vee$ . Verificar esto es probablemente igual de trabajo, pero creo que es reconfortante saber que las matrices son innecesarias para la definición.

Answer 4

Dejemos que $A,B$ sea $n \times n$ matrices, aplica $tr(AB) = tr(BA)$ .

prueba $\: tr(AB) = \sum_{i} (AB)_{ii} = \sum_{i}(\sum_{k}A_{ik}B_{ki})= \sum_{k}\sum_{i} (B_{ki} A_{ik}) = \sum_{k} (BA)_{kk} = tr(BA)$ q.e.d.

Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ matriz. El cambio de base viene dado por $U^{-1}AU$ , donde $U$ es un invertible $n \times n$ matriz.

Por fin podemos verlo: $\:$ $tr(U^{-1}AU) = tr(AUU^{-1}) = tr(A)$ .