Estabilidad del método de Euler para EDO no lineales

Question

Consideremos la EDO $$y'(t) = \lambda y(t), \quad y(t_0) =y_0.$$ Método de Euler $y_{i+1}=y_i+h\lambda y_i $ es estable (lo que significa que la solución decae o permanece constante a medida que $ i \to \infty$ ) siempre que $ |1 + h\lambda| \leq 1 $ . Esta idea puede extenderse a los sistemas de $n$ dimensiones poniendo una condición similar en el coeficiente máximo en lugar de sólo $\lambda$ .

Esta pregunta es sobre lo no lineal, $n$ sistemas dimensionales. ¿En qué condiciones es estable el método de Euler para el sistema

$$\mathbf{y}'(t)=\mathbf{F}(\mathbf{y}(t)), \quad \mathbf{y}(t_0)= \mathbf{y}_0$$ ?

Sospecho que esto implicará el Jacobiano del término no lineal. El único recurso que he encontrado es en la diapositiva 18 de estos diapositivas pero no se explica la notación (qué es $l_{k+1}$ ?). Probablemente se introdujo en una conferencia anterior. La integral del jacobiano que aparece aquí es interesante, parece algún tipo de media ponderada entre la solución numérica y la verdadera. ¿De dónde procede?

Answer 1

Dada la lineal problema $\vec{y}'=A\vec{y} + \vec{b}$ donde $A$ es una matriz diagonalizable de n dimensiones, se pueden encontrar matrices $V,D$ s.t $AV=VD$ con $D=diag$ { $\lambda_1,...,\lambda_n$ }.

Entonces $\vec{y}'=A\vec{y} + \vec{b} $ si $ \vec{z}'=D\vec{z} + V^{-1}\vec{b}$ . Como estamos utilizando el método de Euler, la restricción en el paso de tiempo viene dada por el valor eigne más pequeño de $A$ .

Si consideramos ahora $\mathbf{y'}=\mathbf{F(y(t))}$ podemos linealizar $\mathbf{y'(t)})=\mathbf{F(y(t))} + J(\mathbf{y_n})(\mathbf{y}(t) - \mathbf{y_n})$ donde $J$ es la matriz jacobiana. Si $J$ es diagonalizable, se procede como en el caso lineal (si $J$ no es diagonalizable, entonces utilizamos la descomposición de Jordan.

Los problemas surgen porque los valores propios de $J$ no suelen bastar para describir el comportamiento de la solución exacta.

Podemos tener varios casos: por ejemplo $J_f$ podría haber $\Re(\lambda_i)<0$ pero la solución no decae monótona para cada t.

Eso es lo que ocurre si consideramos el sistema $y'=Ay$ con $A=[ ( -\frac{1}{2t} , \frac{2}{t^3} ),( -\frac{t}{2} , -\frac{1}{2t} ) ] $

Para más referencias, véase Lambert J. (1991) Métodos numéricos para sistemas de EDO