Conozco una prueba del teorema de que si $X$ y $Y$ independientes e idénticamente distribuidos, entonces $E(|X-Y|)\leq E(|X+Y|)$ . La prueba utiliza una representación integral del valor absoluto, $$\int_0^\infty u^{-2}[1-\cos(au)]\,\mathrm{d}u = \mathrm{constant}\cdot|a|$$ Estoy tratando de encontrar otras pruebas. ¿Alguien conoce otra?
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steevc
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Despojada de lenguaje probabilístico, esta desigualdad se deduce de la afirmación de que $|x+y|-|x-y|$ es un núcleo semidefinido positivo y, por tanto, es la suma (o integral) de cuadrados. Tu argumento analítico de Fourier da una de esas representaciones de suma de cuadrados; aquí tienes una del espacio físico.
Primero observe la identidad $$ |X+Y| - |X-Y| = 2\min(|X|, |Y|) \mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)$$ (por ejemplo, se puede comprobar primero el caso $0 \leq Y \leq X$ observe que la identidad se mantiene bajo permutaciones y cambios de signo de $X,Y$ ). Así, por el teorema de Fubini \begin{align*} {\bf E} (|X+Y|-|X-Y|) &= 2{\bf E} \min(|X|, |Y|) \mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y) \\ &= 2\int_0^\infty {\bf E} 1_{|X| \geq t} 1_{|Y| \geq t} \mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)\ dt \\ &= 2\int_0^\infty |{\bf E} 1_{|X| \geq t} \mathrm{sgn}(X)|^2\ dt \\ &\geq 0. \end{align*}
Esto suponiendo que $X,Y$ son de valor real. No estoy seguro de lo que ocurre en el caso complejo (o vectorial).
ACTUALIZACIÓN: En el artículo de Buja et al. al que se hace referencia en la respuesta de Iosif hay un truco estándar para pasar del caso escalar real al caso vectorial (real o complejo), que consiste en observar que para cualquier vector $X$ la magnitud $\| X \|$ es proporcional a ${\bf E} |\langle X, u \rangle|$ donde $u$ es un vector unitario aleatorio. Por ejemplo, si $z$ es un número complejo, entonces $|z| = \frac{\pi}{2} \int_0^1 |\mathrm{Re} z e^{-2\pi i \theta}|\ d\theta$ . Ahora se puede derivar la desigualdad vector-valorada ${\bf E} \|X-Y\| \leq {\bf E} \|X+Y\|$ aplicando la desigualdad escalar se obtiene ${\bf E} |\langle X-Y, u \rangle| \leq {\bf E} |\langle X+Y, u \rangle|$ para cada vector unitario $u$ y luego promediar.
Void
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Basta con demostrar que para $X_1,\ldots,X_n$ tenemos $$\sum_{i, j} |X_i-X_j|\leqslant \sum_{i, j} |X_i+X_j|, \quad \quad \quad (\star)$$ aplicando $(\star)$ para una muestra aleatoria de su distribución y tomando la expectativa se obtiene lo que se necesita con término extra que es $O(1/n)$ , por lo que en el límite exactamente lo que necesita.
Pruebas $(\star)$ puede hacerse de muchas maneras, por ejemplo por inducción: los casos base $n=0,n=1$ son fáciles, ya que $n>1$ puede sustituir todos $X_i$ de $X_i+t$ y optimizar mediante $t$ . El lado izquierdo no se modifica, el lado derecho es lineal a trozos, por lo que el mínimo se alcanza cuando uno de los términos es 0, es decir $X_i=-X_j$ (posiblemente con $i=j$ ). A continuación, puede eliminar estos $X_i, X_j$ y tanto el lado izquierdo como el derecho cambian por el mismo valor. Así que se puede proceder por inducción.
Para $\sqrt{|X-Y|}$ y $\sqrt{|X+Y|}$ la desigualdad como $(\star)$ en la OMI 2021. Arriba es una solución modificada el más estándar de este problema.
Iosif Pinelis
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$\newcommand\R{\mathbb R}$ En el teorema 2.3 de Buja, Logan, Reeds y Shepp se demostró mediante una modificación de un método de Lévy (Lemma 2.2 de Buja etal, con una demostración como la de otra respuesta) que la función $\R^n\times\R^n\ni(x,y)\mapsto\|x+y\|_q^p-\|x-y\|_q^p$ es positiva definida si $q\in[1,2]$ y $p\in(0,q]$ donde $\|\cdot\|_q$ es el $q$ -norm on $\R^n$ . De ello se deduce que $$E\|X-Y\|_q^p\le E\|X+Y\|_q^p, \tag{2}\label{2}$$ para tal $p$ y $q$ donde $X$ y $Y$ son vectores aleatorios independientes idénticamente distribuidos (iid) en $\R^n$ .
Una prueba de una línea, $$E|X+Y|-E|X-Y|=2\int_0^\infty[P(X>r)-P(X<-r)]^2\,dr,$$ de \eqref {2} para $n=p=q=1$ en la página 74 del documento de Lifshits, Schilling y Tyurin que también dio varias generalizaciones de \eqref {2}, incluyendo lo siguiente: $$E\psi(X-Y)\le E\psi(X+Y), \tag{3}\label{3}$$ donde $\psi\colon\R^n\to\R$ es cualquier función continua definida negativa y $X$ y $Y$ son vectores aleatorios iid en $\R^n$ . También mostraron una conexión con el movimiento browniano bifraccional.
Corolario 5 afirma lo siguiente: Para cualquier espacio normado bidimensional $V$ y cualquier vector aleatorio iid $X$ y $Y$ sur $V$ tenemos $$E\|XY\|E\|X+Y\|.$$ Esta desigualdad se basa en (una versión explícita de) el conocido resultado de Lindenstrauss de que cualquier espacio normado bidimensional puede incrustarse isométricamente en $L^1(0,1)$ .
La desigualdad del título de tu post también admite la siguiente generalización: $$E\|X-Y\|^p\le E\|X+Y\|^p,$$ para cualquier $p\in(0,2]$ donde $X$ y $Y$ son vectores aleatorios iid en un espacio de Hilbert separable con norma $\|\cdot\|$ .
Esto se deduce inmediatamente de Corolario 2.2 que es una cierta generalización de la representación integral del valor absoluto en tu post, y el Teorema 4.1 en el mismo documento.
