Valores propios de una matriz tridiagonal hermitiana.

Question

Quiero saber cómo calcular los valores propios de la siguiente tridiagonal hermitiana $(N+1)\times(N+1)$ matriz, $$A=\begin{pmatrix} N+1&i\sqrt{N}\\ -i\sqrt{N}&N+1&i\sqrt{2(N-1)}\\ &-i\sqrt{2(N-1)}&\ddots&i\sqrt{3(N-2)}\\ &&-i\sqrt{3(N-2)}&\ddots&\ddots\\ &&&\ddots&N+1&i\sqrt{N}\\ &&&&-i\sqrt{N}&N+1 \end{pmatrix}$$

es decir $a_{kk} = N+1$ , $a_{k,k+1} = i\sqrt{k(N-k+1)}$ .

De otro método para tratar el problema (es de física), obtengo que los valores propios son $$\lambda = 1,3,5,\ldots,2N+1.$$ Agradecemos cualquier ayuda.

Mi respuesta: Encuentro $A-(N+1)I$ es la misma que la matriz de $J_y$ con el uso de estados propios de $J_z$ como base ( $J_y,J_z$ son operadores de momento angular en mecánica cuántica). A continuación, utilice el resultado de las representaciones de $\mathfrak{su}_2$ podemos obtener los valores propios de $A-(N+1)I$ son $-N,-N+2,\dots,N-2,N$ .

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

(Por comodidad, todas las matrices que aparecen a continuación tienen índice cero).

Sea $B=A-(N+1)I$ . Entonces $B$ es una matriz compleja tridiagonal asimétrica. Cuando $0\le k<N$ tenemos $$\begin{align} b_{k,k+1}&=i\sqrt{(k+1)(N-k)},\\ b_{k+1,k}&=-b_{k,k+1}. \end{align}$$ (Obsérvese que la fórmula anterior es diferente de la del PO porque ahora nuestra matriz tiene índice cero). Sea $D=\operatorname{diag}(d_0,d_1,\ldots,d_N)$ donde $$d_k=\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}b_{i,i+1}.$$ El producto de las entradas superdiagonales de $B$ se considera vacío cuando $k=0$ de modo que $d_0=1$ por convención. Entonces $C=DBD^{-1}$ es una matriz tridiagonal tal que $$\begin{aligned} c_{k,k+1} =\frac{d_k}{d_{k+1}}b_{k,k+1} &=\frac{\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}b_{i,i+1}} {\frac{1}{(k+1)!}\prod_{i=0}^kb_{i,i+1}} b_{k,k+1} =k+1,\\ c_{k+1,k} =\frac{d_{k+1}}{d_k}b_{k+1,k} &=\frac{\frac{1}{(k+1)!}\prod_{i=0}^kb_{i,i+1}} {\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}b_{i,i+1}} b_{k+1,k}\\ &=\frac{\frac{1}{(k+1)!}\prod_{i=0}^kb_{i,i+1}} {\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}b_{i,i+1}} (-b_{k,k+1})\\ &=\frac{-b_{k,k+1}^2}{k+1}=N-k. \end{aligned}$$ En otras palabras, $C$ es el Matriz Kac $$C=\begin{pmatrix} 0&1\\ N&0&2\\ &N-1&\ddots&3\\ &&N-2&\ddots&\ddots\\ &&&\ddots&0&N\\ &&&&1&0 \end{pmatrix}.$$ El problema de valores propios de la matriz Kac se resolvió en esta respuesta . El espectro de $C$ es $S=\{-N,\,-(N-2),\,\ldots,\,N-2,\,N\}$ . En $B$ es similar a $C$ y $A=B+(N+1)I$ los valores propios fo $A$ vienen dadas por $N+1+S=\{1,3,5,\ldots,2N+1\}$ .