Existencia de punto fijo dada una cartografía

Question

Sea $A$ sea un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}^{n}$ . Dado que $f: A \to A$ satisface $d(f(x),f(y)) < d(x,y)$ para todos $x,y \in A$ , $x\neq y$ donde $d$ es la métrica euclidiana habitual. Demostrar que $f$ tiene un único punto fijo.

Mis observaciones:

• Desde $\mathbb{R^{n}}$ está completo, entonces $(A,d)$ está completo ya que $A$ está cerrado;

• Desde $A$ está acotada, entonces $A \subset B_{R}$ para algunos $R > 0$ ;

• El teorema del punto fijo de Banach garantiza un punto fijo único si $f$ es la contracción en $A$ .

Por favor, corríjanme si me equivoco. Mi dilema aquí es mostrar que $f$ es una contracción, es decir

$$ d(f(x),f(y)) \leqslant k\cdot d(x,y), \hspace{3mm} k \in (0,1) $$

Estoy buscando algunas pistas o consejos. Gracias.

Answer 1

No sé si hay una manera directa de mostrar el $f$ es una contracción, pero lo siguiente sirve para demostrar que $f$ tiene un punto fijo:

Tenga en cuenta que $f$ es Lipschitz y, por tanto, continua. Definamos $g \colon A \to \mathbf R$ por $$ g(x) = d\bigl(x, f(x)\bigr) $$ En $A$ es compacto, $g$ alcanza su mínimo el $A$ digamos en $a$ . Si $a$ no tiene punto fijo, entonces $a \ne f(a)$ Por lo tanto \begin{align*} g\bigl(f(a)\bigr) &= d\bigl(f(a), f^2(a)\bigr)\\ &< d\bigl(a, f(a)\bigr)\\ &= g(a) \end{align*} contradiciendo que $a$ es un mínimo. Por lo tanto $a = f(a)$ .

Para ver que $a$ es único, sea $a \ne b$ entonces $$ d\bigl(a,f(b)\bigr) = d\bigl(f(a), f(b)\bigr) < d(a,b)$$ Por lo tanto $b \ne f(b)$ .