Actualmente, el asunto es "¿Cómo puede converger una Secuencia de Cauchy a un número irracional?".
Si interpretamos esto literalmente, entonces una forma fácil de que una secuencia de Cauchy (con "s" inicial en minúscula) pueda converger a $\pi$ es que cada término de la secuencia de Cauchy es $\pi$ . Así: $x_1=\pi, x_2=\pi, x_3=\pi,\ldots\,{}$ . Sospecho que querías decir "¿Cómo puede una secuencia de Cauchy de números racionales converger a un número irracional?".
Considere su secuencia $3,\ 3.1,\ 3.14,\ 3.141,\ \ldots\,$ .
La definición NO dice que todas las distancias entre los miembros de esta secuencia sean menores que todos los números positivos. Eso sólo ocurriría con una secuencia constante como mi primer ejemplo anterior. Dice:
Para cada número real positivo $\varepsilon>0$ hay un número entero positivo $N$ tal que para todos los enteros positivos $m,n>N$ tenemos $d(x_m,x_n)<\varepsilon$ .
Observe que $N$ depende de $\varepsilon$ . De hecho, como $\varepsilon$ se reduce, normalmente $N$ debe hacerse más grande. Supongamos que $\varepsilon = 0.01$ . Entonces para su secuencia de ejemplo, $N=3$ es lo suficientemente grande: cada par de números de la secuencia en o después del tercer lugar de la secuencia difieren entre sí en menos de $\varepsilon=0.01$ . Así, $3.14$ y $3.141$ difieren en menos de $0.01$ . Pero ahora supongamos $\varepsilon=0.00001$ . Entonces se necesita un valor mayor de $N$ . Si cada término de la secuencia tiene un dígito más o $\pi$ entonces $N=5$ sería lo suficientemente grande para ese valor de $\varepsilon$ .
Obsérvese que la definición de convergencia a $\pi$ difiere de la definición de "secuencia de Cauchy". Dice que para cada $\varepsilon>0$ hay un número entero positivo $N$ tal que para cada entero positivo $n\ge N$ tenemos $|x_n-\pi|<\varepsilon$ . De nuevo, $N$ depende de $\varepsilon$ . Si $\varepsilon=0.00001$ entonces $N=5$ sería suficiente: cada término en o más allá del $5$ a difiere de $\pi$ por menos de $\varepsilon=0.00001$ .
No hay nada en ninguna de estas definiciones que diga que la distancia entre dos miembros diferentes de la secuencia o la distancia entre $\pi$ y un miembro de la secuencia es $0$ .
Usted escribió:
Como los números irracionales no terminan y continúan para siempre
Vamos a tener clara una definición.
Ciertamente no es correcto que los números cuyas expansiones decimales no terminan sean necesariamente irracionales. Por ejemplo, $1/7 = 0.\ 142857\ 142857\ 142857\ \ldots$ tiene una expansión decimal no terminada y es racional.
Tampoco es cierto que el "número racional" se defina como aquel cuya expansión decimal se repite o termina. Euclides y otros antiguos griegos demostraron que algunos números son irracionales sin pensar nunca en las expansiones decimales. Que $\pi$ es irracional significa $\pi$ no es un cociente de dos enteros, como $22/7$ . Prueba $\pi$ es irracional es tan difícil que no se hizo hasta el siglo XVIII. Algunos números son mucho más fáciles de demostrar que son irracionales. Por ejemplo, si $\log_2 3 = m/n$ y $m,n$ son enteros positivos, entonces $2^m=3^n$ pero eso no puede ocurrir porque un número par no puede ser igual a un número impar.
El hecho de que un número sea racional si y sólo si su expansión decimal se repite o termina requiere un poco de trabajo para demostrarlo, pero es lo suficientemente elemental como para que los estudiantes de secundaria lo entiendan.
