Producto de Massey en álgebra dual de Steenrod

Question

Sea $\tau_0$ sea el elemento del álgebra dual de Steenrod $A_p^{*}$ en un prime $p$ que es dual a Bockstein $\beta \in A_p$ . Es bien sabido que $\tau_0^2 =0$ . ¿Es cierto/conocido que elemnet $\xi_1$ pertenecen a $p$ -producto Massey doble de $ \tau_0$ es decir $$ \langle \tau_0, \ldots, \tau_0 \rangle \ni \xi_1 ?$$

Si es así, ¿cuál es la prueba o una referencia?

Si el resultado es falso, no dudes en machacar esta pregunta.

Answer 1

En cuanto a las definiciones de los productos de Massey, el álgebra dual de Steenrod es la homología $H_*(H\Bbb Z/p)$ de un $E_\infty$ por lo que cuenta tanto con productos Massey como con operaciones energéticas.

Kraines, en el Teorema 14 de "Massey higher products" de 1966, demuestra que la potencia restringida $\langle u \rangle^p \subset \langle u, u, \ldots, u\rangle$ puede identificarse con la operación de potencia $-\beta P^m u$ cuando $u$ es un elemento de $H^{2m+1}(X; \Bbb Z/p)$ . Kochman generalizó esto en "Symmetric Massey products and a Hirsch formula in homology" a ciertas álgebras diferenciales graduales de Hopf (de las cuales las cadenas en el álgebra dual de Steenrod pueden ser modeladas por una, creo) mostrando que para tal álgebra tenemos $\langle u \rangle^p = -\beta Q(u)$ más un término que implica corchetes de Browder iterados de $u$ y $\beta u$ .

(En un mundo ideal, ésta sería una identificación válida en la homología de cualquier $E_\infty$ álgebra, y no sólo una de estas formas especiales).

Entonces el Teorema III.2.3 de Bruner-May-McClure-Steinberger's $H_\infty$ demuestra que en el álgebra dual de Steenrod tenemos $\beta Q(\bar \tau_0) = \bar \xi_1$ y la conjugación en estos grados es afortunadamente sólo negación.

Así $\langle \bar \tau_0,\ldots,\bar \tau_0\rangle = -\bar \xi_1$ . Esto se generaliza a $\tau_i$ .

Esto lo aprendí hace algunos años de Vigleik Angeltvelt (véase su "Topological Hochschild homology and cohomology of $A_\infty$ espectros de anillo", ejemplo 3.3).