Otras consecuencias interesantes de $d=163$ ?

Question

Pregunta : Cualquier otra consecuencia interesante de $d=163$ con número de clase $h(-d)=1$ aparte de la lista que figura a continuación?

Sea $\tau = \tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}$ . Tenemos (ver notas al final de la lista),

$$e^{\pi\sqrt{163}}\approx 640320^3+743.99999999999925\dots\tag{1}$$

$$B(n) = 4n^2+163\tag{2}$$

$$F(n) = n^2+n+41\tag{3a}$$

$$P(n) = 9n^2-163\cdot3n+163\cdot41\tag{3b}$$

$$1^2+40^2=42^2-163\tag{4}$$

$$u^3-6u^2+4u \approx 1.999999999999999999999999999999977\dots\tag{5}$$

$$5y^6 - 640320y^5 - 10y^3 + 1 =0\tag{6}$$

$$163(12^3+640320^3) = 12^2\cdot \color{blue}{545140134}^2\tag{7}$$

$$12\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(6n)!}{n!^3(3n)!} \frac{\color{blue}{545140134}\,n+13591409}{(640320^3)^{n+1/2}} = \frac{1}{\pi}\tag{8}$$

$$12\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\, G_1 \frac{\color{blue}{545140134}\,(n+m)+13591409}{(640320^3)^{n+m+1/2}} = \frac{1}{2^6}\ln\left(\frac{3^{21}\cdot5^{13}\cdot29^5}{2^{38}\cdot23^{11}}\right)\tag{9}$$

$$\frac{E_{4}(\tau)}{\left(E_2(\tau)-\frac{6}{\pi\sqrt{163}}\right)^2}=\frac{5\cdot23\cdot29\cdot163}{2^2\cdot3\cdot181^2}\tag{10a}$$

$$\frac{E_{6}(\tau)}{\left(E_2(\tau)-\frac{6}{\pi\sqrt{163}}\right)^3}=\frac{7\cdot11\cdot19\cdot127\cdot163^2}{2^9\cdot181^3}\tag{10b}$$

$$640320 = 2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\tag{11a}$$

$$\color{blue}{545140134}/163 = 2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11\cdot 19\cdot 127\tag{11b}$$

$$x^3-6x^2+4x-2=0,\;\;\text{where}\; x = e^{\pi i/24}\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}=5.31863\dots\tag{12}$$

$$x = 2+2\sqrt[3]{a+2\sqrt[3]{a+2\sqrt[3]{a+2\sqrt[3]{a+\cdots}}}} = 5.31863\dots\;\text{where}\;a=\tfrac{5}{4}\tag{13}$$

$$\frac{x^{24}-256}{x^{16}} = 640320\tag{14}$$

$$K(k_{163}) = \frac{\pi}{2} \sqrt{\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \frac{1}{x^{24n}} }=1.57079\dots\tag{15a}$$

$$K(k_{163}) = \frac{\pi}{2} \frac{x^2 }{640320^{1/4}} \sqrt{\sum_{n=0}^\infty \frac{(6n)!}{n!^3(3n)!} \frac{1}{(-640320^3)^{n}} }\tag{15b}$$

$$K(k_{163}) = \frac{\pi}{2} \frac{x^2 }{640320^{1/4}}\,_2F_1(\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1,\alpha) \tag{16a}$$

$$\frac{\,_2F_1(\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1,1-\alpha)}{\,_2F_1(\tfrac{1}{6},\tfrac{5}{6},1,\alpha)}=-\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\,i \tag{16b}$$

$$\alpha = \frac{1}{2}\Big(1-\sqrt{1+1728/640320^3}\Big)\tag{17}$$

$$K(k_{163}) = \frac{\pi}{2} \frac{x^2 }{163^{1/4}(2\pi)^{41}}\Gamma(\tfrac{1}{163})\,\Gamma(\tfrac{4}{163})\,\Gamma(\tfrac{6}{163})\dots\Gamma(\tfrac{161}{163}) \tag{18}$$

$$\frac{(e^{\pi\sqrt{163}})^{1/24}}{x} = 1+\cfrac{q}{1-q+\cfrac{q^3-q^2}{1+\cfrac{q^5-q^3}{1+\cfrac{q^7-q^4}{1+ \ddots}}}}\tag{19}$$

$$\frac{(e^{\pi\sqrt{163}})^{1/8}}{x^2}\frac{\eta(\tau)}{e^{\pi i/24}} = \cfrac{1}{1-\cfrac{q}{1+q-\cfrac{q^2}{1+q^2-\cfrac{q^3}{1+q^3-\ddots}}}}\tag{20}$$

$$\frac{(e^{\pi\sqrt{163}})^{1/8}}{\sqrt{2}\,\big(1/k_{163}-1\big)^{1/8}} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q+\cfrac{q^2}{1+q^2+\cfrac{q^3}{1+q^3+\ddots}}}}\tag{21}$$

$$\text{Moonshine}_{\,d}=163\tag{22}$$

Notas :

1. El valor exacto de la función j $j(\tau)=-640320^3= -12^3(231^2-1)^3$ .
2. Es primordial para $0\leq n \leq 19$ . (OEIS enlace )
3. El polinomio de Euler (a) es primo para $0\leq n \leq 39$ mientras que (b) es primo para $1\leq n \leq 40$ (pero arroja valores diferentes del primero).
4. Como observan Adam Bailey y Mercio en este comentario el polinomio de Euler implica el menor número entero positivo $c$ a la ecuación diofantina $a^2+b^2=c^2-163$ no puede ser $c<41$ .
5. Dónde $u=(e^{\pi\sqrt{163}}+24)^{1/24}$ .
6. Dónde $y\approx\frac{1}{5}(e^{\pi\sqrt{163}}+6)^{1/3}$ . (Los factores sexticos sobre $\sqrt{5}$ por lo que tiene un grupo de Galois soluble).
7. El cuadrado perfecto aparece en la fórmula de pi.
8. Por los hermanos Chudnovsky (basado en las fórmulas de Ramanujan).
9. Por J. Guillera en este papel . Sea $G_1 = 12^{3n} (\frac{1}{2}+m)_n (\frac{1}{6}+m)_n (\frac{5}{6}+m)_n (m+1)_n^{-3}$ donde $m = \frac{1}{2}$ y $(x)_n$ es el Símbolo del martillo pilón .
10. $E_n$ son series de Eisenstein. Más detalles en Puesto MO .
11. Los factores primos de $j(\tau)$ y $j(\tau)-12^3$ .
12. $\eta(\tau)$ es la función eta de Dedekind.
13. Expresar x como infinitas raíces cúbicas anidadas. La fracción continua de $x-2$ también fue descrito por H. M. Stark como exótico . Véase OEIS enlace .
14. Basado en una fórmula para la función j que utiliza cocientes eta.
15. $K(k_d)$ es el integral elíptica completa de primer tipo .
16. $\,_2F_1(a,b;c;z)$ es la función hipergeométrica.
17. $\alpha$ es un "módulo singular" de signo 6.
18. Es un producto de 81 función gamma $\Gamma(n)$ que figura en el enlace anterior.
19. Un caso especial del Heine continuó la fracción donde como siempre $q = e^{2\pi i \tau}$ y x como arriba.
20. La forma general es de M. Naika(?).
21. Ramanujan octic fracción continua y $k_{163}=k$ es el valor tal que $\frac{K'(k)}{K(k)}=\sqrt{163}$ .
22. Como observan Conway y Norton, la funciones moonshine abarcan un espacio lineal de dimensión 163 . (Aunque la relevancia del 163 sigue siendo especulativa).

Answer 1

Noam Elkies ha tenido la amabilidad de señalar que en su preimpresión " Tres conferencias sobre superficies elípticas y curvas de alto rango "(página 9), existe un discriminante $-163$ superficie elíptica con grupo de torsión $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ . Explícitamente, esto es,

$$y^2 + a x y + a b y = x^3 + b x^2\tag{1}$$

donde,

$$a = (8t - 1)(32t + 7),\;\;b = 8(t + 1)(15t - 8)(31t - 7)$$

Elkies dio varias soluciones paramétricas $x,y$ a (1). Después de juguetear un poco, encontré que también se puede resolver como,

$$x = \frac{-a^2}{8},\;\;y = \frac{a(a^2-8b)}{16},\;\;t = \frac{3(3-2v)}{4(2+v)}$$

y donde $v$ pueden ser las raíces del discriminante $-163$ cúbico,

$$v^3-6v^2+4v-2=0$$

mencionado en el post. (Aunque no sé por qué funciona).

P.D: Otra versión de la superficie K3 de Elkies puede encontrarse en http://www.math.rice.edu/~hassett/conferences/Clay2006/Elkies/CMIPelkies.pdf

Answer 2

$\left(\frac{-163}{n}\right) = \mu(n)$ para squarefree $n \leq 40$ donde el LHS es el símbolo de Kronecker y el RHS es la función de Mobius. (Iwaniec & Kowalski pág. 520)

Answer 3

En señaló por Greg Martin en el contexto de la conjetura abc ,

$$3^37^211^219^2127^2 163- 2^{12}5^323^329^3=1\tag{1}$$

Nótese que esta igualdad tiene la forma

$$pr^2-qs^2=1$$

que resuelve el Ecuación Pell ,

$$(p r^2 + q s^2)^2 - p q(2r s)^2 = 1$$

De hecho, la solución fundamental a,

$$x^2-(163)(640320)y^2=1$$

viene dada por $p,q,r,s$ derivable de $(1)$ . Véase también el post relacionado https://mathoverflow.net/questions/154655/ .

Answer 4

También tenemos la serie real dada anteriormente,

$$\big(K(k_{163})\big)^2 = \frac{\pi^2}{4} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \left(\frac{1}{x_1}\right)^{24n} =2.467401\dots\tag{1}$$

y el series complejas ,

$$\big(K(k_{163})\big)^2 = \frac{\pi^2}{\pm\,4\sqrt{-1}}\left(\frac{x_2}{x_3}\right)^4 \,\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \left(\frac{x_2}{\sqrt{2}}\right)^{24n} =2.467401\dots\tag{2}$$

donde $x_1$ siendo el raíz real y $x_2,x_3$ como el conjugados complejos de,

$$x^3-6x^2+4x-2=0$$

y el signo de $\pm\sqrt{-1}$ elegidos adecuadamente.

Answer 5

H.H.Chan encontró que dada la solución fundamental del Ecuación Pell ,

$$x^2-3d\,y^2=1$$

para $d=163$ de ahí la unidad,

$$u = 7592629975+343350596\sqrt{489} = \big(35573\sqrt{3}+4826\sqrt{163}\big)^2$$

entonces,

$$3\sqrt{3u}-3\sqrt{\tfrac{3}{u}}+6 = 640320$$

Del mismo modo para $d=19,43,67$ .

P.D. Por cierto, que $\tau = \tfrac{3+\sqrt{-163}}{6}$ entonces el cociente eta,

$$\Big(\tfrac{\eta^2(3\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(9\tau)}\Big)^6 = -3\sqrt{3u} = -640314.000042\dots$$

puede aparecer en un nivel 9 Fórmula pi de Ramanujan .