Aproximación mediante el polinomio de Laurent

Question

Me gustaría obtener una aproximación de una función $1/(a x + b y)$ en torno a $x=1$ en términos de un polinomio de Laurent. No necesito la serie completa; de hecho quizás los términos de 1er orden en $x$ y $x^{-1}$ puede ser suficiente para mis propósitos, llevando a algo de la forma $\alpha_{-1} x^{-1} + \alpha_0 + \alpha_1 x$ . Sin embargo, una expansión Taylor no es lo que necesito. ¿Cuál es la forma correcta de obtener dicha expansión?

El siguiente paso es ampliar en $y$ también alrededor de 1, obteniendo algo de la forma $\alpha_{-1} x^{-1} + \beta_{-1} y^{-1} + \alpha_0 + \alpha_1 x + \beta_1 y$ . ¿Es esto razonable?

Answer 1

Expansión $x=1$ y $y=1$ parecen ser los enfoques equivocados. El enfoque estándar consiste en factorizar el mayor (en magnitud) de $ax$ y $by$ a partir del denominador, y utilizar la fórmula de suma de series geométricas a la inversa (equivalentemente, la fórmula de expansión binomial). Entonces: $$\begin{align} \frac{1}{ax + by} & = \frac{1}{ax} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{by}{ax}\right)^n \ \forall\, |ax| > |by|,\ \mathrm{and} \\ & = \frac{1}{by} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{ay}{by}\right)^n \ \forall\, |ax| < |by| \end{align}.$$ Si quieres ampliar sobre un punto diferente, sólo tienes que desplazar tus variables y aplicar las mismas fórmulas. Por ejemplo: $$\begin{align} x' &= x - 1,\ \mathrm{and} \\ y' & = y + \frac{a}{b}. \end{align}$$

Para aplicar más literalmente expansiones repetidas, como se pedía en el post original, aplicarás una expansión binomial a cada término de una de las fórmulas anteriores después de aplicar otro desplazamiento/cambio de variables. La fórmula para expansiones binomiales más generales es: $$\begin{align}\frac{1}{(ax + b)^n} &= \frac{1}{(ax)^n} \sum_{m=0}^\infty \frac{\Gamma(-n+1)}{m! \Gamma(-n-m+1)} \left(\frac{b}{ax}\right)^m\ \forall\, |ax| > |b|,\ \mathrm{and} \\ & = \frac{1}{b^n} \sum_{m=0}^\infty \frac{\Gamma(-n+1)}{m! \Gamma(-n-m+1)} \left(\frac{ax}{b}\right)^m\ \forall\, |ax| < |b|. \end{align}$$

Answer 2

Todavía no conocí los polinomios de Laurent de dos variables, pero se pueden utilizar las siguientes consideraciones.

Sólo es posible construir el polinomio de Laurent "estándar" para una función analítica compleja de un variable $z=x+iy$ . Eso da $$F(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$$ así que $u(x,y)$ y $v(x,y)$ debe cumplir para Cauchy-Riemann ecuaciones $$\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}},\quad \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}.$$ Suponiendo que $$u(x,y) = \mathcal RF(x+iy)=\dfrac1{ax+by},$$ tenemos $$\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}} = -\dfrac{a}{(ax+by)^2},\quad \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}} = \dfrac{b}{(ax+by)^2},\quad a=b=0.$$ Eso significa que no hay Polinomios de Laurent para $f(x,y).$
Además, no puede representarse como parte real (o imaginaria) de esta serie.

Al mismo tiempo, para la función compleja $$F(z)=1/z$$ $$F(x+iy)=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2},$$ por lo que la función $$u(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}$$ puede presentarse como la parte real del polinomio de Laurent.

Dentro del análisis real, las series de Taylor de dos variables en forma $$f(x,y)=f(x_0,y_0) + f'_x\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0) + f'_y\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)(y-y_0)$$ $$+ \dfrac12f''_{xx}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)^2 + f''_{xy}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)(y-y_0) + \dfrac12f''_{yy}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(y-y_0)^2$$ $$+ \dfrac16f'''_{xxx}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)^3 + \dfrac12f'''_{xxy}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)^2(y-y_0) + \dfrac12f'''_{xyy}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(x-x_0)(y-y_0)^2+ \dfrac16f'''_{yyy}\biggr|_{x=x_0,y=y_0}(y-y_0)^3+\dots.$$ Es fácil ver que Taylor serie de $n$ orden utilizan el conjunto completo de derivadas parciales para $n$ orden.

Para obtener la serie en potencias negativas de $(x-x_0)$ y $(y-y_0),$ podemos presentar $f(x,y)$ como $g\left(\dfrac1{x-x_0},\dfrac1{y-y_0}\right),$ donde $$g(r,s) = \dfrac{rs}{as+br+ax_0+by_0},$$ y utilizar la serie de Taylor anterior en forma de serie de Maclaurin. Es fácil ver que $$g(0,0)=g'_r(0,0)=g'_s(0,0)=g''_{rr}(0,0)=g''_{ss}(0,0)=g''''_{rrr}(0,0)=g'''_{sss}(0,0).$$ Cálculo del segundo $$g''_{rs}\biggr|_{r=0,s=0} = \dfrac1{ax_0+by_0}$$ y el tercera $$g'''_{rrs}\biggr|_{r=0,s=0} = -\dfrac{2b_0^2y_0}{(ax_0+by_0)^2}, \quad g'''_{rrs}\biggr|_{r=0,s=0} = -\dfrac{2a_0^2x_0}{(ax_0+by_0)^2}$$ derivadas, podemos obtener "el polinomio de Laurent" en forma $$\dfrac1{ax+by} = \dfrac1{(ax_0+by_0)^2(x-x_0)(y-y_0)}\left(ax_0+by_0 -\dfrac{2b_0^2y_0}{x-x_0}- \dfrac{2a_0^2x_0}{y-y_0}+\dots\right)$$

Para elegir la forma de serie requerida, hay que considerar el área real. Tal vez, la serie de Maclaurin sobre $((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-r^2)$ o similar puede satisfacer los requisitos.