Cubrir la esfera unitaria en $\mathbf{R}^n$ con $2n$ discos congruentes

Question

Sea $v_i$ sea $2n$ puntos en $\mathbf{R}^n$ con igual distancia $|v_i|$ desde el origen. Supongamos que el casco convexo de estos puntos contiene la bola unidad. Se sabe que $|v_i|\geq\sqrt{n}$ ? Presumiblemente, la configuración óptima viene dada por los vértices de un politopo en cruz, es decir, cuando $v_i$ se sitúan en el eje de coordenadas con $|v_i|=\sqrt{n}$ .

El problema también puede plantearse en términos del radio más pequeño para $2n$ discos esféricos congruentes para cubrir la esfera unidad $\mathbf{S}^{n-1}$ (dados por los puntos $x\in\mathbf{S}^{n-1}$ con $\langle x, v_i\rangle\geq 1$ ). Así que imagino que, o bien se conoce la respuesta, o bien se trata de un problema bien conocido en la cobertura de esferas. Se agradecerían referencias. El caso $n=2$ es obvio, y $n=3$ parece factible. Pero no estoy seguro de $n\geq 4$ .

Answer 1

Para $n=3$ la respuesta es sí, como demostró Fejes Toth en 1943; véase el Teorema en la p.34 de su libro Cifras regulares . Para $n=4$ la respuesta también es positiva, como se muestra en el documento de 2000, Números de bloqueo de cuerpos convexos de Dalla, Larman, Mani-Levitska y Zong. En dimensiones superiores, el problema parece abierto según la conjetura 1.3 del artículo de 2003, Cubrir la esfera con bolas esféricas iguales de Boroczky y Wintsche. En un artículo de 2015, Sobre la distancia de los politopos con pocos vértices a la bola euclídea Tikhomirov demostró que $|v_i|\geq C\sqrt{n}$ donde $C$ es una constante absoluta.