Función generadora, coeficiente determinante

Question

He aquí una pregunta que me planteé el otro día:

Determinar el coeficiente de $x^{98}$ en la siguiente función generadora:

$$f(x)=\frac{x}{(1-2x)^{21}}$$

Me desconcierta un poco el gran exponente del denominador y el hecho de que veamos un $1-2x$ en lugar de $1-x$ . Permítanme empezar preguntando, ¿la función anterior es igual a $$x \sum_{n \geq0}{n \choose 20}(2x)^{n-20}$$ ? Si es así, creo que puedo resolver el resto. Si no, estoy bastante perdido. Muchas gracias.

Answer 1

Sólo hay un pequeño error en su expresión. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$ en una serie.

W \begin{align*} [x^{98}]\frac{x}{(1-2x)^{21}}&=[x^{98}]x\sum_{n\geq0}\binom{-21}{n}(-2x)^{n}\tag{1}\\ &=[x^{97}]\sum_{n\geq 0}\binom{n+20}{20}(2x)^n\tag{2}\\ &=\binom{117}{20}2^{97}\tag{3} \end{align*}

Comentario:

• En (1) utilizamos el _expansión de series binomiales_

• En (2) utilizamos la regla $[x^{p-q}]=[x^p]x^q$ y la identidad \begin{align*} \binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q \end{align*}

• En (3) seleccionamos el coeficiente con $n=97$

Answer 2

Tal vez debería escribir de la siguiente manera : $$\frac{x}{(1-2x)^{21}}=x(\sum_{n\geq 0}2^nx^n)^{21})$$

$$\frac{x}{(1-2x)^{21}}=x\sum_{n_1\geq0}2^{n_1}x^{n_1}\times\cdots \sum_{n_{21}\geq0}2^{n_{21}}x^{n_{21}}$$

$$\frac{x}{(1-2x)^{21}}=x\sum_{n_1,\dots,n_{21}\geq0}2^{n_1+\cdots+n_{21}}x^{n_1+\cdots+n_{21}} $$

$$\frac{x}{(1-2x)^{21}}=x\sum_{n\geq 0}\sum_{n_1,\dots,n_{21}\geq0\text{ and } n_1+\cdots+n_{21}=n}2^{n}x^{n} $$

Ahora podrás encontrar la función generatriz asociada de donde procede el coeficiente.

Answer 3

Se puede escribir como $(1-2x)^{-21}$ por lo que en general para enteros no negativos el coeficiente de $x^r$ es $$\frac{(-1)^r n(n-1)...(n-(r-1))x^r(2)^r}{r!}$$ así que puedes hacerlo ahora con algunas manipulaciones.