En los supermultiplos, los grados de libertad bosónicos y los grados de libertad fermiónicos deben coincidir en número. El número de grados de libertad de un campo corresponde al número de componentes independientes de ese campo.
Ahora bien, dado que el número de grados de libertad de los distintos campos depende de si la teoría se considera on-shell u off-shell, el contenido de campo de un supermultiplejo dado depende de si la teoría se considera on-shell u off-shell. A continuación explico cómo funciona el recuento:
Contar grados de libertad
Bosón galvánico sin envoltura
En d-dimensiones el bosón gauge es un vector d-dimensional. Fuera de la envoltura, una condición gauge reduce el número de componentes independientes a $d-1$ resultando en $d-1$ grados de libertad independientes.
Bosón galvánico en la cáscara
En la envoltura, además de que la condición gauge reduce el número de componentes independientes en uno, la ecuación de movimiento reduce el número de componentes independientes en otro más. El resultado es $d-2$ grados de libertad.
Fermión de Dirac/Majorana sin envoltura
En el espaciotiempo d-dimensional, el número de componentes de un espinor viene dado por $2^{d/2}$ para incluso $d$ y por $2^{(d-1)/2}$ para impar $d$ . Para los espinores de Majorana estos componentes son reales, mientras que para los espinores de Dirac son complejos. Fuera de la envoltura, estas componentes corresponden al número de grados de libertad de los espinores.
Fermión de Dirac/Majorana con cáscara
La ecuación de Dirac relaciona la mitad de estas componentes entre sí, lo que significa que el número de componentes independientes viene dado por $2^{d/2}$ dividido por dos, o por $2^{(d-1)/2}$ dividido por dos, para el espaciotiempo par e impar dimensional respectivamente. Este número resultante es el número de grados de libertad reales y complejos independientes de los espinores de Majorana y Dirac respectivamente.
Ahora bien, aplicar este recuento a la mayoría de los supermultiplos con o sin envoltura parece funcionar bien, con un número de grados de libertad bosónicos igual al número de grados de libertad fermiónicos. [hep-th/9908075v1, página 7] proporciona una excepción. Esta fuente describe un 3d $N=2$ y un multiplete vectorial 3d $N=2$ (ambos on-shell) con el siguiente contenido de campo:
Multiplete vectorial : Campo vectorial, dos fermiones de Majorana, campo escalar real
Multiplete quiral : Fermión de Majorana, escalar complejo.
El recuento on-shell funciona bien para el multiplete vectorial. El campo vectorial proporciona 1 grado de libertad bosónico, el escalar proporciona 1 grado de libertad bosónico y los dos fermiones de Majorana proporcionan 1 grado de libertad fermiónico cada uno. El número de grados de libertad bosónicos coincide con el número de grados de libertad fermiónicos.
Sin embargo, para el multiplete quiral, el fermión de Majorana proporciona 1 grado de libertad fermiónico, mientras que el escalar complejo proporciona 2 grados de libertad bosónicos.
Creo que podría tratarse de una errata, y que los autores de [hep-th/9908075v1] pretendían escribir "dos fermiones de Majorana de dos componentes". En otras palabras, el multiplete quiral debería contener un espinor de Majorana más. Otra evidencia que apoya esto viene de [hep-th/9703110v1]. En la página 3 se afirma que los multipletes quiral y vectorial deben contener cada uno dos grados de libertad bosónicos y dos fermiónicos. En la página 6 (de la misma fuente) los autores describen cómo la dualización de un vector en un escalar (en 3d) convierte el multiplete vectorial en el multiplete quiral. Esto sólo ocurriría si el múltiplete quiral tuviera el mismo contenido fermiónico que el múltiplete vectorial (es decir, 2 fermiones de Majorana).
Es muy posible que mi sistema para contar los grados de libertad sea erróneo, por lo que se agradecerían mucho los comentarios.
