Ejemplo en el que falla la fórmula de integración por partes para funciones a.e. diferenciables

Question

Estoy estudiando para un qual y he encontrado este problema. Nos dieron dos funciones absolutamente continuas $f,g$ en $[a,b]$ . Las dos primeras partes del problema consistían en demostrar la fórmula de integración por partes:
$$ \int_{[a,b]}fg' = f(b)g(b)-f(a)g(a) - \int_{[a,b]} f'g. $$ Esto fue bastante sencillo. Sin embargo, la última parte pide ahora encontrar un ejemplo en el que esta fórmula no tenga por qué cumplirse si sólo suponemos $f$ y $g$ son diferenciables en casi todas partes y no absolutamente continuas. ¿Alguien puede darme un ejemplo o una pista para comprobarlo?

Answer 1

Sea $f(x) = g(x) = x$ en $(0,1)$ y que $f(x) = g(x) = 0$ en todas partes. Entonces $f$ y $g$ son a.e. diferenciables en $\mathbb{R}$ y $$ \int_{[0,1]} fg' = \int_{[0,1]} x = \frac{1}{2}. $$

Pero la integración por partes da como resultado $$ \int_{[0,1]} fg' = \underbrace{f(1)g(1)}_{=0\cdot 0} - \underbrace{f(0)g(0)}_{=0\cdot 0} - \underbrace{\int_{[0,1]} f'g}_{=\int_{[0,1} x = \frac{1}{2} } = -\frac{1}{2}. $$ El problema es que $f(1)g(1)$ "debería" ser $1$ lo que daría la respuesta correcta $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Pero forzamos que ese término fuera 0 decretando que $f$ y $g$ ser cero a la una. Como esto cambia las funciones sólo en un conjunto de medida cero, no cambia ninguna de las integrales, pero hace cambiar el valor de $f(b)g(b) - f(a)g(a)$ ya que estas expresiones dependen de los valores de $f$ y $g$ en solo puntos. Esto, como puede verse, "rompe" la integración parcial.

En general, siempre que una fórmula relacione el valor de una integral de funciones con sus valores en puntos concretos, es muy probable que requiera alguna propiedad para que realmente se cumpla en todas partes no sólo a.e. . Porque siempre que las cosas se mantengan a.e., los valores en puntos individuales pueden cambiarse sin cambiar las integrales.

Answer 2

Puede escribir algo parecido a $$f(x)=x^2/2,\quad g(x)=\begin{cases}1,&x\le \frac 12\\0,&x>\frac 12 \end{cases}.$$

Entonces $$\int_{[0,1]}f'g=\int_0^{1/2} xdx=\frac 14.$$ Después $f(0)=g(1)=0$ por lo que las partes no integrales de la integración por partes desaparecen.

Sin embargo, $$\int_0^1 fg' =0$$ si se "olvida" la discontinuidad de $g$ y el hecho de que $g$ sólo es diferenciable a trozos.

Y, para completar la respuesta, la derivada de $g$ está bien definido en el sentido de las distribuciones y es igual a $-\delta_{1/2}$ .