Aperiodicidad de la cadena de Markov

Question

Si una cadena de Markov que tiene muchos estados pero sólo un estado tiene un borde de bucle propio, ¿significa que la cadena de Markov es aperiódica? ¿O todos los estados de la cadena de markov tienen que tener bucle propio? Por ejemplo, en la siguiente cadena de markov, sólo el estado 2 tiene una arista de bucle propio, ¿significaría esta arista que la cadena de markov es aperiódica? :

Answer 1

Sí, la cadena de Markov que has dado es aperiódica. Para comprobarlo, puedes probar que siempre que el grafo subyacente esté fuertemente conectado (o, en otras palabras, que el MC sea irreducible) y contenga al menos un bucle propio, la cadena de Markov es aperiódica.

Answer 2

La definición de aperiódico es que cada estado es aperiódico, lo que significa que $\gcd\{t: \ P(X_t=s | X_0=s)>0\}=1$ para todos los estados $s$ . Puede comprobar fácilmente que esto es así para su cadena de Markov con un estado y un bucle propio.