a) Considere $(\mathbb{R}^n, \|.\|_\infty)$ y $(L_b(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}),\|.\|)$ que es el espacio de todas las funciones lineales y acotadas de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ asociada a la norma del operador.
$(L_b(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}),\|.\|)$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ si interpretamos $A \in (L_b(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}),\|.\|)$ como matriz $(a_1,\dots a_n)$
Quiero demostrar que $\|.\|$ es equivalente a $\|.\|_1$ entonces.
La norma del operador se define como
$$\|Ax\|=\sup\Big\{\frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X}\:x \in X\setminus\{0\}\Big\}=\sup\{\|Ax\|_Y:x\in X, \|x\|_X=1\}$$
Sea $A=(a_1,\dots,a_n)$ y $x=(x_1,\dots,x_n)^T$ . Entonces $Ax=\sum_{i=1}^{n}a_ix_i$ .
Y $|\sum_{i=1}^{n}a_ix_i|\le\sum_{i=1}^{n}|a_ix_i|\le\max_{i=1,\dots,n}|x_i|\sum_{i=1}^{n}|a_i|=\sum_{i=1}^{n}|a_i|=\|A\|_1$ porque $\max_{i=1,\dots,n}|x_i|=1$ . Por lo tanto $\|A\|\le\|A\|_1$ .
Para la otra dirección $"\|A\|\ge\|A\|_1"$ :
Elija $x$ para que $x_i=sgn(a_i), i=1,\dots,n$ . Entonces $\|x\|_\infty=1$ y $|\sum_{i=1}^{n}a_ix_i|=\sum_{i=1}^{n}|a_ix_i|=\sum_{i=1}^{n}|a_i|$ . Por lo tanto $\|A\|\ge\|A\|_1$ .
¿Es correcto hasta ahora?
b)
A qué norma corresponde la norma del operador en $L_b(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ equivalente si asociamos $\mathbb{R}^n$ con $\|.\|_2$ ?
$|\sum_{i=1}^{n}a_ix_i|\le\sum_{i=1}^{n}|a_ix_i|=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(a_ix_i)^2}$ pero no se como continuar
