Expectativa condicional dado un suceso con distribución de Poisson

Question

Estoy estudiando para mi examen final y estoy intentando resolver un problema de Introducción a la probabilidad de Blitzstein y Hwang sin mucho éxito.

El problema es;

Una noche, mientras Fred duerme, recibe X correos legítimos e Y correos basura. Supongamos que X e Y son independientes, con X ~ Pois(10) e Y ~ Pois(40). Cuando se despierta, observa que tiene 30 correos nuevos en su bandeja de entrada. Dada esta información, ¿cuál es el valor esperado de cuántos correos nuevos tiene?

Sé que estamos tratando de encontrar E[X] condicionado a N = X + Y = 30, y que N ~ Pois(50) como X e Y son independientes, pero im sólo conceptualmente atascado en la forma de aplicar lo que sé acerca de la expectativa condicional a este problema. Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

En la página 166 del libro de Blitzsteins se encuentra el siguiente teorema:

• Si $X\sim Pois(\lambda_x)$ y $Y\sim Pois(\lambda_y)$ son independientes, entonces $X| N = n \sim Bin(n, \frac{\lambda_x}{\lambda_x + \lambda _y})$ donde $N = X+ Y$ .

Tomando esto como punto de partida, obtenemos $$E[X| N = n] = n \cdot p$$ directamente de la distribución binomial. Aquí $n=30$ y $p = \frac{\lambda_x}{\lambda_x + \lambda _y} = \frac{10}{50}$ . Introduciendo estos números en la fórmula, obtenemos $E[X| N = 30] = 6$ .

Answer 2

Una pista: la variable aleatoria $X+Y$ es Poisson con tasa $10+40 = 50$ por lo que, en un sentido intuitivo, el número de correos electrónicos legítimos que esperaría de $30$ es $$\operatorname{E}[X \mid X+Y = 30] = 30(10/50) = 6.$$ Pero tiene que justificarlo formalmente. ¿Cómo lo haría?

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Si se sabe (o se permite suponer) que la suma de variables aleatorias de Poisson independientes es Poisson, es decir, $X_i \overset{\text{ind}}{\sim} \operatorname{Poisson}(\lambda_i)$ para $i = 1, 2, \ldots, n$ implica $\sum_i X_i \sim \operatorname{Poisson}(\sum_i \lambda_i)$ entonces la distribución condicional de $X \mid X+Y = n$ es trivial a través de la definición de probabilidad condicional: $$\Pr[X = x \mid X+Y = n] = \frac{\Pr[(X = x) \cap (X+Y = n)]}{\Pr[X+Y = n]} = \frac{\Pr[X = x]\Pr[Y = n-x]}{\Pr[X+Y = n]},$$ que después de sustituir los PMFs de Poisson, se obtendrá un PMF binomial con una elección adecuada de parámetros.