Demostrar que una ecuación tiene solución

Question

Si $a$ y $b$ a $$\frac{a}{x^3+2x^2-1}+\frac{b}{x^3+x-2}=0$$ tiene al menos una solución en el intervalo $(-1,1)$

Mi solución es la siguiente, pero no estoy seguro de que sea correcta. Si tiene alguna otra solución, ¿podría compartirla?

Mi intento:

Sea $$f(x)=\frac{a}{x^3+2x^2-1}+\frac{b}{x^3+x-2} = \frac{a}{(x+1)(x-(\frac{-1+\sqrt5}{2}))(x-(\frac{-1-\sqrt5}{2}))}+\frac{b}{(x-1)(x^2+x+2)}$$

Entonces, los dos sumandos tienen signos distintos en el intervalo $(\frac{-1+\sqrt5}{2},1)$ . Por lo tanto, $f$ puede toman el valor cero en este intervalo.

Sabemos que $f(x)\rightarrow-\infty$ como $x \rightarrow 1^-$ y $f(x)\rightarrow\infty$ como $x \rightarrow (\frac{-1+\sqrt5}{2})^+$ .

Entonces, para una $\delta>0$ , $f(1-\delta)<0$ y $f(\frac{-1+\sqrt5}{2}+\delta)>0$ . También, $f$ es continua en $[\frac{-1+\sqrt5}{2}+\delta,1-\delta]$ . Por lo tanto, a partir del Teorema del Valor Intermedio, existe al menos una $c\in(\frac{-1+\sqrt5}{2}+\delta,1-\delta)$ tal que $f(c)=0$ .

Answer 1

Esquema de la solución. Puede ser inestable. :-)

Vuelva a escribir $f(x)$ como

$$ f(x) = \frac{a(x^3+x-2)+b(x^3+2x^2-1)}{(x^3+2x^2-1)(x^3+x-2)} $$

y denotar el numerador por

$$ g(x) = (a+b)x^3+2bx^2+ax-(2a+b) $$

y el denominador por

$$ h(x) = (x^3+2x^2-1)(x^3+x-2) $$

Tenga en cuenta que $h(x)$ tiene un cero (y por lo tanto $f(x)$ tiene un polo) en $x_0 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . En esta zona, $h(x)$ pasa de positivo a negativo.

Ahora,

$$ g(x_0) = \frac{3\sqrt{5}-9}{2} $$

que es un número negativo, mientras que $g(1) = 2b$ un número positivo. Por lo tanto, en el intervalo $(x_0, 1)$ , $f(x)$ va de un gran número positivo a un gran número negativo. Como no hay otros polos en este intervalo, debe haber un cero en ese intervalo.