Demostración del teorema de Liouville sobre $R^n$

Question

Quiero saber si lo he hecho correctamente:

Teorema: Una función armónica definida y acotada en toda $R^n$ es una constante.

mi respuesta: Que $u$ sea armónica entonces todas las derivadas parciales de $u$ también es armónico. Simplemente aplicando la derivada a la ecuación de Laplace.

Desde $\nabla u$ es armónico podemos aplicar el teorema del valor medio de Gauss para obtener:

$ | \nabla u(x) | = \big| \frac{1}{w_n R^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} \nabla(y) dS(y) \big| \leq \frac{1}{w_n R^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} |\nabla(y)| dS(y) \leq \frac{M}{w_n R^{n-1}} $

donde la última desigualdad proviene del hecho de que la derivada de una función armónica está acotada por $ C \max |u| $ .

Entonces como $R \rightarrow \infty$ tenemos $\nabla u = 0 $ de ahí $u$ es una constante.

---

¿Es correcto? Por favor, hágamelo saber si tengo que arreglar o aclarar algo.

Answer 1

Supongamos que $u:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es armónico, entonces resulta $\nabla u$ es armónico y \begin{align} \partial_{x_i} u(x) = \frac{1}{|B(0, r)|} \int_{B(x, r)} \partial_{x_i}u(y)\ dV \end{align} es decir, componentes de $\nabla u$ satisface la propiedad del valor medio. Entonces se cumple \begin{align} |\partial_{x_i} u(x)| \leq\ \frac{C}{r^n} \left|\int_{B(x, r)} \partial_{x_i} u(y)\ dV \right| =\ \frac{C}{r^n} \left| \int_{\partial B(x, r)} u\nu_i\ dS \right| \leq \frac{C'}{r}. \end{align} Sea $r\rightarrow \infty$ muestra que $\partial_{x_i}u(x) = 0$ para cualquier $x$ . Así $u$ debe ser constante.