Soporte de convolución y suavizado

Question

Sólo quiero saber cómo se deduce que $v^{\epsilon} \in C^{\infty}(\bar{V})$ ? Podría ver cómo $v^{\epsilon} \in C^{\infty}(V)$ mediante el uso de las traducciones, pero tengo dificultades para ver cómo se extiende a $\bar{V}$ ya que dice que $u_{\epsilon}(x) := u(x^{\epsilon}) \text{ for } x \text{ in } V$ , nos estamos apaciguando en $V$ . Tampoco creo que podamos utilizar el mismo tipo de extensión que en la pregunta anterior que hice, ya que anteriormente extendimos una función que ya se había hecho cero a cero en el resto del dominio. ¿Tienes alguna idea de cómo se deduce esto? Gracias por la ayuda.

Answer 1

$\DeclareMathOperator \supp {supp}$ Para funciones en $\mathbb R^n$ tenemos en general $\supp (f*g) \subset \supp f+\supp g$ donde $A+B = \{a + b \mid a \in A, b \in B\}$ . Para ver esto tenga en cuenta que $x$ debe estar en este conjunto para $f(x-y)g(y)$ sea distinto de cero.

Así pues, tenemos $\supp f^\epsilon \subset \supp f + B(0,\epsilon) = \{x \mid d(x,\supp f)<\epsilon\}$ Así que $\bigcap_{\epsilon > 0} \supp f^\epsilon \subset \supp f$ (que supongo que es a lo que intentabas llegar con tu "límite').

Intuitivamente esperamos $\supp f \subset \supp f^\epsilon$ y esto es cierto si $\eta(0)>0, \eta\ge 0, f \ge 0$ . (Estoy asumiendo $\eta$ es al menos continua aquí; normalmente la tomamos como suave). En general, sin embargo, no creo que esto se cumpla siempre.

La única vez que tendríamos $\supp f ^\epsilon \subset \supp f$ es cuando $\supp f$ es todo el espacio: siempre habrá alguna "fuga" de $f^\epsilon$ en la frontera de $\supp f$ .