Cálculo de los valores de la función Zeta de Riemann

Question

La función Zeta de Riemann se define comúnmente como $$\zeta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^s}$$ Hay una especie de premio de un millón de dólares que consiste en demostrar que la parte real del número complejo s debe ser $\frac{1}{2}$ para todos los ceros no triviales. Por supuesto esto me intrigó, porque bueno, es un millón de dólares. Lo más probable es que no lo resuelva, pero aún así. De todos modos, empecé a mirarlo y me di cuenta de que estarías elevando un número a una potencia compleja. Esto no tenía sentido para mí, así que fui a Internet y encontré la fórmula de Euler que explica cómo funcionaría eso $$e^{i\pi}=-1$$ Resulta que los ceros no triviales más pequeños se encuentran en torno a $\frac{1}{2}+14.1345i$ así que lo introduje en la función zeta. Usé Desmos.com, y utilicé sumas separadas para las partes real e imaginaria. Esperaba obtener cero. No obtuve cero. De hecho, cuanto mayor fuera la suma, por ejemplo, en lugar de sumar hasta 1000000, sumaría hasta 1000000000, más me alejaría de cero.

Dígame, ¿cómo se calculan exactamente los valores de la función zeta de Riemann?

Answer 1

Cabe señalar que cuando $\Re(s)\le1$ ,

$$\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^s}\approx\int_1^\infty\frac1{x^s}\ dx\to\infty$$

Por lo tanto, necesitaremos una representación diferente de la función zeta. Si dejamos que $\eta(s)$ sea la forma alterna de la función zeta,

$$\eta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k^s}$$

Entonces,

$$\zeta(s)-\eta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1+(-1)^k}{k^s}=\sum_{k=1}^\infty\frac2{(2k)^s}=2^{1-s}\zeta(s)$$

Por lo tanto, se deduce que

$$\zeta(s)=\frac1{1-2^{1-s}}\eta(s)$$

Tomando la suma de Euler de los $\eta$ obtenemos

$$\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{1+n}}\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{(k+1)^s}$$

y así, llegamos a una forma globalmente convergente de la función zeta de Riemann:

$$\zeta(s)=\frac1{1-2^{1-s}}\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{1+n}}\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{(k+1)^s}$$

y cuando se comprueba si hay ceros, el $\frac1{1-2^{1-s}}$ parte es insignificante.

Answer 2

1 La respuesta no puede ser correcta. El autor afirma que su resultado es globalmente convergente. Pero no es globalmente convergente a la función zeta. Se sabe que zeta(0)=-1/2 Sin embargo si fijamos s=0 en su resultado la suma interior (segunda) se reduce a la suma de k=0 a n de n!(-1)^k/((n-k)!(k)!) que es cero (por el teorema del binomio). Puedes responder en adwunsch@gmail.com