A) Mostrar la suma parcial $$S = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{\sin((2n-1)t)}{2n-1}$$ que también puede escribirse como $$ \frac{2}{\pi}\int_0^x\frac{\sin(2Nt)}{\sin(t)}dt$$ tiene extremos en $x= \frac{m\pi}{2N} $
donde $m$ es cualquier número entero positivo excepto m=2kN, k también entero.
Solución: La derivada de $$S = \frac{2}{\pi}\frac{\sin(2Nx)}{\sin(x)} = 0 $$ $$\text{where }\sin(2Nx)=0,$$ $\sin(x)$ no puede ser igual a cero.
$\sin(x) = 0$ donde $x$ es múltiplo de $\pi$ .
Por lo tanto, $$\sin(2Nx)=0 $$ donde $ x=\frac{m\pi}{2N}$
sin embargo $\sin(x)$ no puede ser igual a cero, $$\sin(\frac{m\pi}{2N})\neq 0 $$ así que $ $ m es cualquier número entero positivo excepto $m=2kN$ , $k$ también entero. ¡¿Está completo?!
b) Considera el primer extremo a la derecha de la discontinuidad, situado en $x=\frac{\pi}{2N}$ . Considerando una fórmula adecuada de ángulo pequeño demuestre que el valor de la suma en este punto $$S(\frac{\pi}{2N})\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\sin(u)}{u}du$$
Solución: No estoy seguro de qué fórmula de ángulo pequeño debo considerar ¿La serie de Taylor del pecado? o ¿cómo considerarla? Veo que $$ S(\frac{\pi}{2N}) = \frac{4}{\pi} (\sin(\frac{\pi}{2N})+\frac{\sin(\frac{3\pi}{2N})}{3}+\frac{\frac{\sin(5\pi)}{2N}}{5}+\ldots)$$ $$=\frac{2}{\pi}(\frac{\pi}{N}(\frac{\sin(\frac{\pi}{2N})}{\frac{\pi}{2N}}+\frac{\sin(\frac{3\pi}{2N})}{\frac{3\pi}{2N}}+\frac{\sin(\frac{5\pi}{2N})}{\frac{5\pi}{2N}}+\cdots)$$
c) y haciendo que un ordenador lo evalúe numéricamente demuestre que $$S(\frac{\pi}{2N})1.1790$$ independientemente de $N$ .
No estoy muy seguro de cómo podría mostrar esto.
De ahí que comente la precisión de las series de Fourier en las discontinuidades (también conocido como fenómeno de Gibbs). Dado que el error en $\frac{}{2N}$ es casi constante explique por qué el teorema de convergencia de Fourier es o no válido para este problema.
Cuando una función presenta una discontinuidad en forma de salto, la serie de Fourier se sobrepasa al acercarse a la discontinuidad. A medida que aumenta el número de términos de la serie de Fourier, el rebasamiento converge a un porcentaje constante (en torno al 17,9) de la magnitud del salto.
¿podría alguien explicarme esto, por favor? -¡Perdón por la pregunta tan larga!
