El área entre dos curvas: ¿es correcta mi respuesta?

Question

Hallar el área entre una parábola $y=x^2-2$ y una asíntota a $y=\sqrt{x^2+4x}+2x $ para $x \to -\infty$ . Como respuesta, escriba el área multiplicado por 6 .

Este es un problema muy fácil, pero cometí algún error por descuido al principio y mi respuesta fue incorrecta. Sin embargo, la respuesta que aparece para este problema es simplemente 1 .

En primer lugar, hallamos la asíntota:

$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+4x}+2x=|x|+2x=x$$

A continuación, hallamos los puntos de intersección:

$$x^2-2=x$$

$$x_1=-1,~x_2=2$$

Ahora la zona es:

$$S=\int^{2}_{-1}(x-x^2+2)dx=2-\frac{1}{2}-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}+4+2=4.5$$

Ahora la respuesta final es $6S=4.5 \cdot 6=27$

¿Dónde está mi error? ¿Cómo podría alguien 1 como respuesta "correcta"?

Answer 1

Tenemos $\sqrt{x^2+4x}+2x\sim x-2+\frac{2}{x}+ O(\frac{1}{x^2})$ como $x\rightarrow -\infty$ . Por tanto, la asíntota es $y=x-2$ . Los puntos de intersección son las soluciones de $x^2-2=x-2,$ es decir $x=0\,$ y $x=1$ . Y por lo tanto la respuesta es $$ 6 \Big|\int_0^1 (x^2-2 - (x-2)) dx\Big|= 6 \Big|\int_0^1 (x^2- x) dx\Big| = 6\Big|[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}]_0^1\Big|= 6\Big|-\frac{1}{2}\Big| = 1 $$