Calcular una integral fea

Question

Sea $A$ sea el conjunto en $\mathbb{R}^2$ d $$A = \left\{(x,y)\left| x \gt 1\text{ and }0\lt y\lt\frac{1}{x}\right.\right\}.$$ C $$\int\!\!\int_A\left(\frac{1}{x}\right)y^{1/2}dA$$ si existe.

*Importante: Sólo hay 1 integral sub A, no es una integral doble.

Mi prueba:

Así que nuestra integral tendrá límites de $x$ de $1$ a $\infty$ et $y$ tendrá límites a partir de $0$ a $\frac{1}{x}$ .

Así, tenemos una integral de $1$ a $\infty$ de $1/x\; dx$ y una integral de $1$ a $1/x$ de $y^{1/2}\; dy$

y tenemos una integral de $1$ a $\infty$ de $$\left(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x}\right)^{3/2}-\frac{2}{3}\right)\frac{1}{x}\,dx$$ y nuestra respuesta final diverge por lo que no existe.

Pero, ¿cómo decirlo con rigor/corrección?

Merci

Answer 1

Cuando lo conviertes a la integral iterada, $y$ debe oscilar entre $0$ a $\frac1x$ no de $1$ a $\frac1x$ . Así pues, sus primeros pasos deberían ser los siguientes:

$$\begin{align*} \int_A\left(\frac1x\right)y^{1/2}dA&=\int_1^\infty\int_0^{1/x}\left(\frac1x\right)y^{1/2}dydx\\ &=\frac23\int_1^\infty\left(\frac1x\right)[y^{3/2}]_0^{1/x}dx\\ &=\frac23\int_1^\infty\left(\frac1x\right)\left(\frac1x\right)^{3/2}dx \end{align*}$$

(donde he sacado el factor constante para quitarlo de en medio). En otras palabras, no deberías tener $\frac23\left(\frac1x\right)^{3/2}-\frac23$ pero sólo $\frac23\left(\frac1x\right)^{3/2}$ . Ahora simplifique a

$$\frac23\int_1^\infty\left(\frac1x\right)\left(\frac1x\right)^{3/2}dx=\frac23\int_1^\infty x^{-5/2}dx$$

y continuar desde ahí. Ten un poco de cuidado: se trata de una integral impropia, por lo que deberías reescribirla como

$$\frac23\lim_{a\to\infty}\int_1^a x^{-5/2}dx\;.$$

Ahora debería comprobar que efectivamente existe.

Answer 2

Resulta que no hay ningún problema de existencia. Para ser ultra cautelosos, integremos sobre la región acotada $A_M$ que tiene $1\le x\le M$ . Si expresamos nuestra integral de la forma habitual como una integral iterada, obtenemos $$\iint_{A_M}\frac{y^{1/2}}{x}dA=\int_{x=1}^M \left(\int_{y=0}^{1/x} \frac{y^{1/2}}{x} dy\right) dx.$$ La integral interna es $\dfrac{2}{3x^{5/2}}.$

Ahora integre con respecto a $x$ de $1$ a $M$ . Obtenemos $$\frac{4}{9}\left(1-\frac{1}{M^{3/2}}\right).$$ En $M\to\infty$ esto se aproxima a $\dfrac{4}{9}$ .

Allí sería hubiera habido problemas si la región $A$ ampliado de $x=0$ en.