Evaluación de $\int\sec x \,\mathrm dx$

Question

$$\int\sec x \,\mathrm dx = \ln\left|\sec{x} + \tan{x}\right|+ C = \ln{\left|\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right|} + C$$

Mi pregunta es ¿cómo? ¿Cómo se obtienen?

Answer 1

Puedes reescribir tu integrando en la forma $$\frac{\cos(x)}{\cos(x)^2}\,.$$ Configuración $t=\sin(x)$ nos da $$\int\frac{1}{1-t^2}dt\,.$$

Answer 2

Para la mayoría de la gente, derivan de lo que otra persona, o un libro de texto, les dice.
Para comprobar que funcionan, diferéncielos.
$$\frac d{dx}\ln(\sec x+\tan x)=\frac{\sec x\tan x+\sec^2x}{\sec x+\tan x}$$

Answer 3

Es bien sabido que

$$ \int \csc x dx = \ln \tan \frac x 2. $$ Desplazando la variable de integración en $\pi/2$ da, utilizando el hecho de que $\sin(x+\pi/2) = \cos x$ ,

$$ \int \sec x dx= \ln \tan \left({\frac x 2 + \frac \pi 4 }\right). $$

Para demostrar la primera integral, escribe $$ \csc x = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2) } = \frac 1 2 \left[\cot \frac x 2 + \tan \frac x 2 \right]. $$