Quiero ampliar $f$ localmente en la intersección de cada parche de coordenadas de $X$ avec $Y$ (y ponerlo en $0$ fuera de $Y$ ) y luego utilizar una partición de la unidad para obtener un mapa diferenciable que concuerde con el antiguo $f$ en $Y$ , pero el problema es que estas intersecciones pueden no estar abiertas en $X$ desde $Y$ está cerrado. ¿Puede solucionarse?
Respuesta
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Desde $Y$ es un submanifold, para cada $y \in Y$ podemos encontrar un vecindario $U_y$ sur $X$ tal que en coordenadas $Y \cap U_y$ parece $\mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^n$ .
Ampliemos $f$ primero en $\cup_y U_y$ . Tomar una partición compactamente soportada de unidad subordinada a la $U_y$ , $\chi_{y'}$ .
Podemos ampliar cada $\chi_{y'} f$ como sigue. En coordenadas buenas, tenemos $\chi_{y'} f$ es una función suave en $\mathbb{R}^k$ con soporte compacto, para extenderse a $\mathbb{R}^n$ podemos hacer algo como $f^e(x,y) = f(x) \rho(|y|)$ donde $x \in \mathbb{R}^k, y \in \mathbb{R}^{n-k}$ et $\rho$ es, digamos, una función de protuberancia en $\mathbb{R}$ apoyado en $[-\epsilon, \epsilon]$ (que es igual a 1 en cero, para ser una extensión :p).
Cada $\chi_{y'}f$ debe extenderse a todos los $X$ (mediante la extensión por cero), por lo que basta con sumarlos para obtener la extensión deseada.
