¿Está permitido utilizar la metateoría para demostrar un resultado de independencia?

Question

Me pregunto sobre el uso de una metateoría para demostrar afirmaciones de la forma " $\phi$ es independiente de $\mathcal{T}$ "en lógica matemática.

Pregunta corta: ¿Está permitido utilizar un resultado de la metateoría, por ejemplo un modelo no estándar de la metateoría, para demostrar o refutar la independencia de un resultado de la propia teoría?

Pregunta larga:

Supongamos por el bien de este post que estamos trabajando en el marco de la teoría de modelos, y que estamos utilizando ZFC para desarrollar todas las ideas (lenguajes, estructuras, teorías, y así sucesivamente). Llamemos a esta metateoría mZFC (distinguiéndola de la teoría de ZFC, que es un conjunto formal de enunciados en mZFC). Consideremos la cuestión de si ZFC demuestra la hipótesis del continuo, es decir $$ \text{Does } ZFC \vDash CH ? \;\; \text{Does } ZFC \vDash \lnot CH ? $$ Según tengo entendido (que podría ser incorrecto), podemos construir modelos específicos de $ZFC$ sur $mZFC$ Llámalos $M$ et $M'$ tal que $M, M' \vDash ZFC$ pero $M \vDash CH$ et $M' \vDash \lnot CH$ demostrando que ambas afirmaciones son falsas, es decir, que CH es independiente de ZFC.

Ahora, parece que ya que hemos demostrado $CH$ sea independiente de $ZFC$ que en futuros trabajos podríamos suponer razonablemente que el metateoría $mZFC$ satsifica (o no satisface) $mCH$ (ya que los modelos de la metateoría existen en cualquier caso). Por ejemplo, hipotéticamente podríamos demostrar la independencia de alguna otra sentencia $\phi$ de $ZFC$ construyendo modelos $N, N' \vDash ZFC$ que satisfacen y que no satisfacen $\phi$ -pero cuya existencia depende de $mCH$ ¡! En concreto, estoy imaginando una situación en la que construimos deliberadamente un modelo $N$ tal que $\aleph_0 < |N| < 2^{\aleph_0}$ .

¿Se consideraría tal construcción una prueba válida de que $\phi$ es independiente de $ZFC$ ¿o se consideraría una prueba de algún otro resultado (más meta)? En el primer caso, ¿existe una forma estándar de distinguir exactamente cuántos niveles de meta se utilizaron en un resultado de independencia, o varios niveles de meta equivalen a uno solo?

Espero que mi pregunta no sea demasiado confusa. Gracias.

Answer 1

Sí, en principio se podría demostrar un resultado del tipo "Si se cumple CH, entonces el teorema T es independiente del sistema S". Aquí asumimos CH en la metateoría.

Sin embargo, la utilidad de este método tiene una limitación. El teorema de la absolutez de Shoenfield muestra que $\Sigma^1_2$ sentencias son absolutas entre $V$ et $L$ en teoría de conjuntos. Si $S$ es un sistema eficaz, una declaración de la forma " $T$ es independiente de $S$ "es mucho menor que $\Sigma^1_2$ . Por lo tanto, si tal afirmación es válida, lo es en $L$ donde CH siempre se cumple. Por lo tanto, si pudiéramos demostrar "Si CH se cumple entonces el teorema $T$ es independiente del sistema $S$ ", en realidad sólo podríamos probar " $T$ es independiente del sistema $S$ ", porque esta última afirmación es absoluta para $L$ et $L$ satisface $CH$ .

Así pues, el método no sirve de nada cuando el principio metateórico en cuestión es CH. Pero el método puede funcionar para algunas propiedades más fuertes que no son absolutas a $L$ como las grandes propiedades cardinales.

Hay ejemplos fáciles de esto. Por ejemplo, si suponemos en la metateoría que existe un modelo de ZFC + "hay un cardinal de Woodin" (la existencia de tal modelo no es demostrable en ZFC), entonces podemos demostrar en la metateoría que Con(ZFC + "hay un cardinal de Woodin") es independiente de ZFC. Pero, a menos que asumamos la consistencia de ZFC + "hay un cardinal de Woodin" en la metateoría, entonces por lo que sabemos la metateoría podría creer que la teoría es inconsistente, en cuyo caso la metateoría no probará que Con(ZFC + "hay un cardinal de Woodin") es independiente de ZFC.

Pero hay que tener cuidado con la terminología. La metateoría en la que trabajamos define lo que significa ser "estándar". Así que es difícil ver lo que realmente debería ser un "modelo no estándar de la metateoría". Tal vez podría imaginarse una "metateoría", pero en ese caso en realidad debería tomarse la "metateoría" como su metateoría y la "metateoría" como su teoría del objeto. O, como hago yo más arriba, puedes simplemente tomar axiomas adicionales en la metateoría, lo que equivale a añadir hipótesis adicionales a los teoremas que demuestres en la metateoría.