Para cada una de las series, hallar la menor $k$ que $a_n = O(n^k)$

Question

Necesito que revises mis soluciones:

a) $a_n = (2n^{81.2}+3n^{45.1})/(4n^{23.3}+5n^{11.3})$ Este se hace desde $\sum_{i=1}^{k} O(a_i(n)) = O(max\lbrace a_i,..,a_k \rbrace )$ Así que es $n^{81.2}/n^{23.3} = n ^ {57.9}$ Así pues $k = 57.9$

b) $a_n =5^{\log_2(n)} $ así que tengo $5^{\log_2(n)} \le Cn^k \iff 5^{\frac{1}{log_n(2)}} \le Cn^k \iff 5 \le C(n^{log_n(2)})^k \iff 5 \le C \cdot 2^k$ y ahora no estoy seguro de cual $k$ es el más pequeño. $ k = 0 $ ?

c) $a_n = (1.001)^n$ por lo que la ecuación es $ (1.001)^n \le C \cdot n^k \iff log_n(1.001)^n \le C \cdot log_n(n^k) \iff nlog_n(1.001) \le C \cdot k \iff 0 \le -log_n(1.001)n + C \cdot k$ Y ahora no estoy muy seguro. Wolfram alpha muestra $k \ge \frac {0.009995n}{ln(n)}$ et $ \lim_{n \to \infty} \frac {0.009995n}{ln(n)} = 0$ así que tal vez $k = 0$ ?

d) $a_n = nlog^3(n) $ Y de este no tengo ni idea.

Así que si alguien puede por favor revise mi $a,b,c$ soluciones y dar algunas pistas sobre $d)$ . Gracias de antemano.

Answer 1

B) $5^{\log_2n}=2^{\log_25\log_2n}=(2^{\log_2n})^{\log_25}=n^{\log_25}$

c) Intentar demostrar que, pase lo que pase $k$ es, $a_n$ no es $O(n^k)$ .

d) No existe el más pequeño $k$ pero intenta demostrar que $k=1$ no funciona, sino que por cada positivo $\epsilon$ , $k=1+\epsilon$ funciona.