Integrabilidad de una función periódica acotada

Question

¿Cómo puedo demostrar esta afirmación:

Si $ f :[a,b]\to\mathbb{R} $ es periódica y acotada en $ [a,b] $, entonces tanto $ f $ como $f^2$ son integrables en $ [a,b] $.

No he encontrado ideas o literatura para probar la afirmación anterior. Gracias por su amabilidad.

Answer 1

Buena y antigua función indicadora racional

$$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}} = \begin{cases} 1 & x\in\mathbb{Q} \\ 0 & x\in\mathbb{R}\text{\\}\mathbb{Q} \\ \end{cases}$$

viene al rescate como contraejemplo. El problema con esa afirmación es que necesitamos alguna condición sobre la continuidad local.

Uno podría gruñir, "Bueno, esta función no tiene un período fundamental, tal vez imponer esa condición podría ser suficiente." Pero considera

$$f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{\pi}{x-2k}\right) & x\in[2k-1,2k+1)\text{\\}\{2k\} \\ 0 & x=2k \\ \end{cases} $$

para $k\in\mathbb{Z}$. Esta función está acotada y tiene un período fundamental de $2$, sin embargo no es integrable de Riemann en ningún intervalo que contenga un período completo.

Sospecho que la restricción adicional correcta necesaria es que $f$ debe ser de variación acotada, pero entonces eso no tiene nada que ver con que $f$ tenga algún tipo de periodicidad. Es todo un misterio lo que su asesor pudo haber querido decir al pedirte que pruebes esto.