Teorema de Taylor con fórmula general del resto

Question

Me encontré con el teorema de Taylor como sigue:

Sea la función $f(x)$ tienen $n+1$ derivados en $(a- \delta , a+\delta )$ del punto $a$ y $p>0$ Entonces para cada $x \in (a- \delta , a+\delta )$ existe $c \in (a,x)$ para que:

$$\begin{align}f(x) = &\sum_{k=0}^{n} \frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) \\&+ \left(\frac{x-a}{x-c}\right)^p\frac{(x-c)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(c) \end{align} $$

Tengo curiosidad por saber cuál es la prueba de este teorema.

si se conecta, por ejemplo $p=n+1$ se obtiene el resto de Lagrange. Pero no he encontrado en ninguna parte una prueba con $p$ donde el resto se expresa así. Puede alguien compartir la prueba completa de este teorema o enlace donde se demuestra esto?

Answer 1

Tengo una prueba para ti. Se basa en el planteamiento de Lagrange para demostrar la forma "habitual" de Lagrange de la fórmula del resto. (Véase, por ejemplo, el problema 19 del capítulo 20 de la obra de Spivak Cálculo 4ª edición). Su truco consiste en dejar que el punto $a$ variar y considerar $$f(x) = P_{n,t}(x) + R_{n,t}(x).$$ Aquí $P_{n,t}(x) = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ y $R_{n,t}$ es el resto. Para facilitar la notación, puesto que fijaremos $n$ y $x$ escribamos $R(t)=R_{n,t}(x)$ .

Tenga en cuenta que $R(x)-R(a)=0-R_{n,a}(x) = -(f(x)-P_{n,a}(x))$ . Sea $g(t)=(x-t)^p$ . Entonces $g(x)-g(a) = -(x-a)^p$ . Parece muy prometedor aplicar el Teorema del Valor Medio de Cauchy: $$\frac{R(x)-R(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f(x)-P_{n,a}(x)}{(x-a)^p} = \frac{R'(c)}{g'(c)}.$$ Desde $g'(c)=-p(x-c)^{p-1}$ así que las cosas empiezan a pintar bien. El paso crítico será calcular $R'(t)$ .

Tenemos $R(t) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ Así que \begin{align*} R'(t) &= -\sum_{k=0}^n \left(\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k -\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}\right) \\ &= -\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1}(t)}{k!}(x-t)^k \\ &= -\frac{f^{(n+1)}(t)}{k!}(x-t)^n. \end{align*}

Y ahora todo encaja: \begin{align*} \frac{f(x)-P_{n,a}(x)}{(x-a)^p} &= \frac{R'(c)}{g'(c)}\\ &=\frac{-\frac{f^{(n+1)}(c)}{k!}(x-c)^n}{-p(x-c)^{p-1}} \\ &= \frac{f^{(n+1)}(c)}{k!p} (x-c)^{n+1-p}, \end{align*} de lo que se obtiene \begin{align*} f(x)-P_{n,a}(x) &= \frac{f^{(n+1)}(c)}{k!p} (x-c)^{n+1-p} (x-a)^p \\ &= \left(\frac{x-a}{x-c}\right)^p \frac{f^{(n+1)}(c)}{k!p} (x-c)^{n+1}, \end{align*} como desee.

Answer 2

Corolario del teorema del valor medio

Supongamos que $g(x)\gt0$ para $a\lt x\lt b$ y definir $$ h(x)=\int_a^xf(t)g(t)\,\mathrm{d}t $$ y $$ k(x)=\int_a^xg(t)\,\mathrm{d}t $$ Entonces hay un $c$ entre $a$ y $b$ para que $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\int_a^bf(t)g(t)\,\mathrm{d}t}{\int_a^bg(t)\,\mathrm{d}t} =\frac{h(b)-h(a)}{k(b)-k(a)}=\frac{h'(c)}{k'(c)}=\frac{f(c)g(c)}{g(c)}=f(c)} $$

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La fórmula de Taylor con la forma integral del resto es $$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t $$ El corolario anterior dice entonces, $$ \begin{align} \int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^x\frac{(x-t)^{p-1}\color{#C00}{(x-t)^{n-p+1}}}{\color{#C00}{n!}}\color{#C00}{f^{(n+1)}(t)}\,\mathrm{d}t\\ &=\color{#C00}{\frac{(x-c)^{n-p+1}f^{n+1}(c)}{n!}}\int_a^x(x-t)^{p-1}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{(x-c)^{n-p+1}f^{n+1}(c)}{n!}\frac{(x-a)^p}p\\ &=\left(\frac{x-a}{x-c}\right)^p\frac{(x-c)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(c) \end{align} $$