No axiomatisabilidad y ultraproductos

Question

Sea $T$ sea una teoría de primer orden sobre un lenguaje $L$ y que $\mathcal{M}$ sea una subclase de la clase de modelos de $T$ . Como yo lo entiendo, si no hay teoría $\hat{T}$ en $L$ cuya clase de modelos es exactamente $\mathcal{M}$ Con frecuencia, la razón "moralmente correcta" es que $\mathcal{M}$ no está cerrado bajo ultraproductos. Sin embargo, a veces es posible obtener una prueba más sencilla de la no axiomaticidad por consideraciones de compacidad o completitud.

Exemple . Consideremos la teoría de campos de primer orden, y dejemos que $\mathcal{M}$ sea la clase de campos de característica positiva. Entonces $\mathcal{M}$ no es axiomatizable en el lenguaje de campos ya que, por ejemplo, si tomamos el ultraproducto de todos los campos finitos $\mathbb{F}_p$ , $p$ primo, obtendríamos un campo de característica 0.

También podríamos demostrarlo directamente: si $T'$ es la axiomatización ingenua de los campos de característica 0 (es decir, la que tiene un axioma de la forma $\underbrace{1 + \cdots + 1}_{n\text{ times}} \ne 0$ para cada $n \in \mathbb{N}$ ), y $\hat{T}$ es cualquier axiomatización de $\mathcal{M}$ entonces $T' \cup \hat{T}$ es inconsistente, por lo que hay algún subconjunto finito que es inconsistente, por lo que hay algún conjunto finito $X$ para lo cual $\hat{T}$ demuestra que existe un $n \in X$ tal que $\underbrace{1 + \cdots + 1}_{n\text{ times}} = 0$ ; pero hay campos de característica positiva distintos de los $n \in X$ - una contradicción.

Pregunta . ¿Es de hecho siempre ¿es posible trasladar una prueba de no axiomaticidad mediante ultraproductos a otra mediante compacidad/completitud?

Answer 1

Para empezar, he aquí un condicional respuesta negativa (en realidad cualquier extensión propia compacta de $\mathsf{FOL}$ puede ponerte las pilas, pero este es muy chulo) :

Si añadimos la capacidad de cuantificar sobre isomorfismos de campos ordenados en un sentido preciso obtenemos una lógica compacta $\mathcal{L}(Q_\mathsf{Of})$ ver Mekler/Shelah 1993 . La clase $\mathfrak{K}$ de campos rígidos ordenados es $\mathcal{L}(Q_{\mathsf{Of}})$ -definible, por lo que su no elementalidad (= no $\mathsf{FOL}$ -) no puede descartarse por motivos de compacidad. Además, todos los ultraproductos no triviales sobre $\omega$ están contablemente saturadas, por lo que suponiendo $\mathsf{CH}$ cualquier ultraproducto no trivial sobre $\omega$ del campo rígido ordenado $\mathbb{Q}$ debe ser no rígido (ser contablemente saturado y de tamaño $\aleph_1$ ). Así que condicionado a $\mathsf{CH}$ tenemos una simple respuesta negativa a su pregunta: la no elementalidad de $\mathfrak{K}$ no puede establecerse sólo por compacidad, pero sí utilizando ultrapoderes.

Bien, ahora pensemos en deshacernos de $\mathsf{CH}$ ...

Una idea inmediata es utilizar un teorema del absoluto . Concretamente, la frase

$(*)\quad $ "Hay un contable campo ordenado no rígido isomorfo a $\mathbb{Q}$ "

es $\Sigma^1_1$ y por el argumento anterior más Lowenheim-Skolem a la baja sabemos que $(*)$ se deduce de $\mathsf{CH}$ . Mostowski absolutismo entonces nos da $(*)$ incondicionalmente.

Pero este planteamiento tiene un grave inconveniente (además del obvio de "pero por qué sin embargo?"). En realidad, la aparición de Lowenheim-Skolem hacia abajo debería ser muy decepcionante. Teorema de Lindstrom dice que la lógica de primer orden es maximal con respecto a la compacidad y (una forma muy débil de) Lowenheim-Skolem descendente. En consecuencia, en cierto sentido cualquier hecho no axiomatizable es una consecuencia puramente abstracta de la compacidad y de Lowenheim-Skolem descendente. Así que si queremos construir una situación en la que los ultraproductos sean suficientes y la compacidad por sí sola no lo sea, debemos evitar Lowenheim-Skolem.

Por lo tanto, parece más razonable intentar demostrar directamente en $\mathsf{ZFC}$ que $\mathbb{Q}$ tiene una ultrapotencia no rígida. Hay un gran teorema que nos permite hacer esto en una línea: la no rigidez se preserva hacia arriba por ultrapoderes, así que aplique Keisler-Shelah dado un campo ordenado no rígido $F\equiv \mathbb{Q}$ . Por supuesto, incluso si nos parece bien introducir un gran teorema como el de KS en el panorama, todavía queda la cuestión de cómo obtenemos tal $F$ en primer lugar. Dicho de otro modo, está claro que la frase

$(\dagger)\quad$ "Toda estructura infinita tiene una ultrapotencia no rígida"

se puede demostrar en $\mathsf{ZFC}$ apelando a las propiedades de la lógica de primer orden, pero que limita la satisfacción de $(\dagger)$ para nuestros propósitos aquí. Así que es plausible que tengamos un ultraproducto incondicional sólo construcción pero en términos de argumento todavía no hemos llegado muy lejos.

Todo esto plantea la siguiente pregunta de seguimiento:

Puede $\mathsf{ZFC}$ demostrar (sin introducir la teoría de modelos de primer orden) que toda estructura contablemente infinita en un lenguaje contable tiene una ultrapotencia no rígida sobre $\omega$ ?

Vergonzosamente, incluso si ignoramos el paréntesis esto no es obvio para mí (y de hecho Shelah tiene una serie de documentos sobre las sutilezas de la $\mathsf{ZFC}$ -hechos demostrables sobre ultrapoderes, como la "Serie "Vive la difference ¡)! Pero seguramente estoy teniendo un momento tonto y alguien señalará lo que me falta en un comentario más abajo ... (EDIT: Ahora he preguntó esto como pregunta aparte).