Difeomorfismos libres de punto fijo de superficies que no fijan clases homológicas

Question

Uno de mis estudiantes de posgrado me hizo la siguiente pregunta y no consigo responderla. Veamos $\Sigma_g$ denotan un género orientado compacto $g$ superficie. Para lo cual $g$ ¿existe un difeomorfismo preservador de la orientación $f\colon \Sigma_g \rightarrow \Sigma_g$ con las dos propiedades siguientes:

1. $f$ no tiene puntos fijos.
2. La acción de $f$ en $H_1(\Sigma_g)$ no fija ningún elemento distinto de cero.

Desde $f$ no tiene puntos fijos, se puede utilizar el teorema del punto fijo de Lefschetz para deducir que la traza de la acción de $f$ en $H_1(\Sigma_g)$ debe ser $2$ . A partir de esto, se puede ver fácilmente que no hay tal $f$ puede ocurrir por $g=0$ y $g=1$ . Sin embargo, no puedo entender lo que está pasando aquí para $g \geq 2$ .

Answer 1

He aquí un ejemplo con $g=2$ . Sea $T$ sea el toroide $\mathbb C/L$ donde $L$ es la red formada por $1$ y $\zeta=e^{2\pi i/6}$ . Sea $f:T\to T$ sea inducida por multiplicación por $\zeta$ . Se trata de un difeomorfismo que fija un punto $0\in T$ y fijando ningún elemento distinto de cero de $H_1(T)$ . Ahora retire un pequeño disco centrado en $0$ y pegar dos copias de esta toroide perforada, y dejar que el mapa actúe como $f$ en ambas copias.

Pero no veo inmediatamente cómo aprender algo sobre $g>2$ de este ejemplo.

Answer 2

La construcción de Goodwillie (en el género dos) se generaliza a todos los géneros superiores de la siguiente manera.

Sea $P_n$ sea la regular $n$ -gon en el plano con vértices en las raíces de la unidad. Cuando $n$ es par, podemos pegar lados opuestos (y por tanto paralelos) para obtener una superficie orientada $F_n$ . Supongamos que $n = 4g + 2$ . En este caso $F_n$ tiene género $g$ ; también la rotación por $2\pi / (4g + 2)$ induce un homeomorfismo $f_n$ de $F_n$ con exactamente un punto fijo, en el origen.

Ahora tomamos copias de $F_{4g + 2}$ y $F_{4h + 2}$ , retira pequeños discos alrededor del origen de cada uno, y pega a lo largo de los límites así creados. La suma de conexiones resultante $F$ tiene género $g + h$ . En una vecindad del encolado interpolamos entre los homeomorfismos $f_{4g + 2}$ y $f_{4h + 2}$ (en algunos lugares se denomina "torsión fraccionaria de Dehn"). El homeomorfismo resultante $f \colon F \to F$ tiene las propiedades deseadas.