Creo que la perspectiva pedagógica correcta es la contraria: la noción "correcta" de estructura es "la que se conserva mediante morfismos".
Creo que su ejemplo de los espacios topológicos es instructivo. Al principio, para entender el continuo utilizábamos la idea de un espacio métrico un conjunto de puntos dotados de una métrica. Utilizando la métrica, podemos definir lo que significa que una función sea continua.
A continuación estudiamos los espacios métricos y las funciones continuas.
Pero rápidamente te encuentras con algunas rarezas; por ejemplo, la función de identidad entre el plano euclidiano habitual $(\mathbb{R}^2, d_2)$ y geometría del taxi $(\mathbb{R}^2, d_1)$ resulta ser continua en ambas direcciones: a homeomorfismo ¡!
Así que ahora tienes este fenómeno de métricas equivalentes . Y resulta que muchas cosas que se hacen en geometría respetan esta equivalencia. Juzgar que una función es continua, o que un conjunto es abierto/cerrado/compacto, o si una secuencia converge: todos estos juicios siguen siendo los mismos si sustituimos las métricas implicadas por métricas diferentes pero equivalentes.
Y así, un componente importante de la práctica de la geometría se convierte finalmente en trabajar con espacios métricos de forma independiente de la métrica, estudiando lo que ahora llamamos propiedades topológicas de espacios.
En otras palabras, en el ejemplo de la topología, la categoría fue lo primero . En retrospectiva, la historia real del mundo 1 es que primero definimos la categoría de espacios métricos y funciones continuas, y sólo más tarde nos dimos cuenta de que estábamos muy interesados en cualquier estructura preservada por los morfismos de esta categoría.
En mi opinión, este tipo de cosas se encuentran por todas partes en las matemáticas y la física: se ve a la gente encontrar primero una manera de describir los objetos, luego cómo describir los morfismos, y más tarde derivar resultados (a menudo vistos como profundos) de que algún aspecto de la descripción de los objetos no es preservado por los morfismos, y por lo tanto no es una característica relevante de lo que estás estudiando.
1: Estoy relativamente seguro de que esta caracterización es exacta. Pero no lo tomes como definitivo, ya que no he estudiado deliberadamente la historia.
P.D. La "categoría de espacios topológicos y todas las funciones" es equivalente a Establecer . Y como la mayoría de las cosas que se hacen con las categorías respetan la equivalencia, las dos son efectivamente intercambiables. Así que tu ejemplo "inútil" es en realidad una categoría increíblemente importante; sólo que no dice mucho sobre topología.
