Cálculo de probabilidades en torno a sucesos "solapados".

Question

Problema

Supongamos que tenemos $n$ cubos, y seleccionamos aleatoriamente $p$ cubos para llenar de agua se puede volver a elegir un cubo lleno . Si ahora seleccionamos al azar $q$ cubos, ¿cuántos de ellos tendrán agua?

Pensamientos

Si el $p$ cubos estuvieran garantizados para ser distintos, entonces es un problema simple.

Pero una vez introducidos los cubos superpuestos, primero imagino una expansión ingenua como la siguiente:

1. Existen $a_0$ universos donde $0$ los cubos se solapan, es decir $p$ cubos distintos con agua.
2. Existen $a_1$ universos donde $1$ solapamientos de cubos, es decir $p-1$ cubos distintos con agua.
3. Existen $a_2$ universos donde $2$ cubos se solapan, pero aquí puede haber $p-2$ o $p-1$ cubos distintos, ya que 3 "vertidos" pueden haber llenado un cubo.

No creo que esta sea la forma correcta de plantearse el problema.

Editaré mi pregunta a medida que se me ocurran enfoques alternativos, pero no se trata de un problema de deberes (más bien es una simplificación de un problema del mundo real relativo a colisiones de ejecuciones en una bolsa de valores), así que no tengo material de referencia ni garantías de que sea algo práctico de resolver con poca práctica en probabilidad.

Answer 1

Sea $N$ sea la variable aleatoria que denota el número de cubos que se llenan de agua después de seleccionar $p$ cubos para llenar con sustitución . Sea $X$ sea la variable aleatoria que denota el número de cubos llenos de agua que se observan a partir de una selección de $q$ cubos sin sustitución . Entonces queremos la distribución de probabilidad para $X$ es decir, $$\Pr[X = x] = \sum_{k=1}^n \Pr[X = x \mid N = k]\Pr[N = k]$$ por la ley de la probabilidad total. A su vez, necesitamos establecer $\Pr[N = k]$ para los parámetros fijos $n,p$ . Esto no es trivial, ya que $$\Pr[N = k] = \frac{n! \, S(p,k)}{(n-k)! \, n^p},$$ donde $S(p,k)$ es el Número de Stirling del segundo tipo . La probabilidad condicional $$\Pr[X = x \mid N = k] = \frac{\binom{k}{x}\binom{n-k}{q-x}}{\binom{n}{q}}$$ es hipergeométrico. La suma resultante es la distribución de probabilidad deseada, que no parece tener una forma cerrada elemental.