¿Cuál es la varianza del número de caras que salen al lanzar 10 veces una moneda?

Question

Así que la respuesta es $5/2$ .

Lo entiendo. $E(x)=5$ lo que significa que $\big(E(x)\big)^2 = 25$ lo que significa que $E(x^2) = 55/2$ .

¿Cómo calculo $E(x^2)$ en este escenario?

Answer 1

Tenga en cuenta que $X = X_1 + \ldots + X_{10}$ donde

$X_i=0$ si el $i$ es cruz, y $1$ si el $i$ La tirada es cara.

Desde el $X_i$ son independientes, tenemos

$Var(X) = Var(X_1 + \ldots + X_{10}) = Var(X_1) + \ldots + Var(X_{10})$ .

Por fin,

$Var(X_i) = E(X_i^2) - E(X_i)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ,

para que

$Var(X_1) + \ldots + Var(X_{10}) = 10*(\frac{1}{4}) = \frac{5}{2}$ .

Answer 2

Acabo de tener que resolver exactamente el mismo problema para los deberes, aquí está mi solución:

V(x) = E(x^2) - E(x)

Como has dicho, sabes que E(x) = 5, lo cual es cierto. Voy a añadir la solución para que a continuación.

Para E(x^2) necesitamos tomar el valor de cada resultado y elevarlo al cuadrado, luego multiplicarlo por su probabilidad. Por último, se suman todos.

Necesitas hacer una probabilidad binomial para todos los valores posibles de X, 0, 1, 2....., 10.

0: 0^2 * (10 elige 0) * (1/2)^10 * (1/2)^0

1: 1^2 * (10 elige 1) * (1/2)^9 * (1/2)^1

2: 2^2 * (10 elige 2) * (1/2)^8 * (1/2)^2

ect..... hasta 10:

10: 10^2 * (10 elige 10) * (1/2)^0 * (1/2)^10

A continuación, se suman todos estos resultados.

Observa que las potencias de (1/2) siempre darán (1/2)^10, que es un factor común para cada término.

Resulta:[ 0*1 + 1*10 + 4*45 + 9*120 + 16*210 + 25*252 + 36*210 + 49*120 + 64*45 + 81*10 + 100*1 ] * (1/2)^10 = 27.5

27.5 - 25 = 2.5 = 5/2

Puedes hacer exactamente el mismo proceso que arriba para encontrar E(x), simplemente no eleves al cuadrado el valor de cada resultado:

0: 0 * (10 elige 0) * (1/2)^10 * (1/2)^0

1: 1 * (10 elige 1) * (1/2)^9 * (1/2)^1

2: 2 * (10 elige 2) * (1/2)^8 * (1/2)^2

ect..... hasta 10:

10: 10 * (10 elige 10) * (1/2)^0 * (1/2)^10

Resulta:[ 0*1 + 1*10 + 2*45 + 3*120 + 4*210 + 5*252 + 6*210 + 7*120 + 8*45 + 9*10 + 10*1 ] * (1/2)^10 = 5

Answer 3

Aquí $n=10$ , $p=0.5$ .

Así que $= np= 5$

y Varianza $= np(1-p)= 5(1-0.5)=2.5$

Answer 4

Lanzar una moneda al aire y ver el resultado como cara o cruz es una variable aleatoria de Bernoulli.

al repetir el lanzamiento de la moneda n veces, estás repitiendo el experimento n veces, la media y la varianza del nuevo suceso serán n veces la media y la varianza de la variable aleatoria Bernoulli.

aquí, coin es insesgada, haciendo p como 0,5. La media y la varianza de un solo lanzamiento son 0,5 y 0,25 respectivamente (p y p(1-p) respectivamente).

Si vemos para n lanzamientos (aquí n = 10), la media y la varianza son np y np(1-P) respectivamente (aquí, 5 y 2,5 respectivamente).

E(x^2) se puede calcular de 2 maneras. El método largo es calcular todas las posibilidades de x^2, multiplicarlas por su probabilidad y sumarlas. (ver respuesta de @davidlordan en el mismo hilo)

La forma más sencilla es utilizar la fórmula de la varianza. Var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2

Introducir valores, 2.5 = E(x^2) - 25

E(x^2) = 27,5