Supongamos que tenemos 10 hombres y 10 mujeres, ¿cuántas formas hay de emparejarlos en 10 parejas con un hombre y una mujer en cada pareja?

Question

Se me ocurren dos posibles enfoques:

1. Que 10 mujeres elijan a uno de los hombres de uno en uno. La primera mujer tiene 10 opciones diferentes. La segunda mujer tiene 9 opciones diferentes, y así sucesivamente. La última mujer sólo tiene una opción. Por lo tanto, la respuesta final es ¡10!.

2. Sea N = 2 (2 hombres, 2 mujeres). Las combinaciones totales son [m1w1, m1w2, m2w1, m2w2] = 4. Si N = 3 (3 hombres, 3 mujeres), las combinaciones totales son [m1w1, m1w2, m1w3, m2w1, m2w2, m2w3, m3w1, m3w2, m3w3] = 9. Como N hombres pueden emparejarse con N mujeres, es simplemente N 2 .

¿Cuál de estos razonamientos es correcto?

Answer 1

Su primer planteamiento es correcto.

La forma de responder a esta pregunta es plantearse el problema de forma inductiva. Puedes emparejar a la primera mujer con 10 hombres. La segunda mujer podría entonces elegir entre 9 hombres. Siguiendo así llegarías a la conclusión de que la décima mujer podría elegir entre 1 hombre. Por lo tanto, la respuesta será $10 \times 9 \times \dots \times 1 = 10!$ .

Para el segundo enfoque, si $N=4$ ( $2$ hombres, $2$ mujer) entonces la primera mujer puede emparejarse con 2 hombres mientras que la segunda mujer puede emparejarse con 1 hombre. Por lo tanto, sería $2!$ .

Como se señala en los comentarios, para $2$ hombres y $2$ mujer sólo hay $2$ posibilidades

$$m_1w_1, m_2w_2\tag{1}$$ $$m_2w_1, m_1w_2\tag{2}$$

por lo que es $2$ !.

Si $N=6$ ( $3$ hombres, $3$ mujer) entonces la primera mujer puede emparejarse con 3 hombres. La segunda mujer puede emparejarse con 2 hombres y la tercera mujer puede emparejarse con un hombre. Por lo tanto, sería $3!$ . Esto se puede ver por

$$m_1w_1, m_2w_2, m_3w_3\tag{1}$$ $$m_2w_1, m_1w_2, m_3w_3\tag{2}$$ $$m_3w_1, m_2w_2, m_1w_3\tag{3}$$ $$m_1w_2, m_2w_3, m_3w_1\tag{4}$$ $$m_3w_2, m_2w_1, m_1w_3\tag{5}$$ $$m_2w_3, m_1w_1, m_3w_2\tag{6}$$