Rotaciones conmutativas

Question

En tres dimensiones, sé que en general las rotaciones en la esfera unitaria son no conmutativas, pero me preguntaba si existe un subconjunto/subgrupo de rotaciones que son conmutativa, y cómo es este tipo de conjunto/grupo. De nuevo, estoy interesado en rotaciones que satisfagan $$R_1 R_2 - R_2 R_1=0$$ para la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ . Entonces, si tal conjunto existe, ¿existiría tal conjunto/grupo para la superficie $|x|^2+|y|^2+|z|^2=1$ , en $\mathbb{C}^3$ ?

Gracias,

Answer 1

En $\mathbb{R}^3$ los únicos tipos de rotaciones que conmutan son los siguientes:

• Las rotaciones en torno a un mismo eje se conmutan.

• Cualquier par de $180^\circ$ Las rotaciones alrededor de los ejes perpendiculares se conmutan.

Así, los grupos conmutativos máximos de rotaciones en $\mathbb{R}^3$ son:

• El grupo de rotaciones alrededor de cualquier eje, y

• Grupos de cuatro elementos formados por la identidad más tres $180^\circ$ rotaciones en torno a tres ejes perpendiculares (isomorfo a la Klein de cuatro grupos ).

Este último puede considerarse como el grupo de rotaciones de un caja rectangular con tres longitudes de lado diferentes

En $\mathbb{C}^3$ depende de lo que se entienda exactamente por "rotación". Hay dos posibles significados obvios:

1. $3\times 3$ (complejo) transformaciones unitarias que forman el grupo unitario $U(3)$ .

2. $6 \times 6$ (real) rotaciones ortogonales que forman el grupo ortogonal especial $SO(6)$

Los primeros actúan naturalmente sobre la esfera unitaria en $\mathbb{C}^3$ mientras que este último se considera más obviamente como rotaciones de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^6$ . Las transformaciones unitarias preservan la estructura compleja, enviando subespacios complejos a subespacios complejos, mientras que las transformaciones ortogonales no lo hacen.

Transformaciones unitarias: Toda transformación unitaria es diagonalizable sobre los números complejos, siendo los valores propios números complejos de módulo uno. Geométricamente, la transformación unitaria representa la rotación en tres "planos" (subespacios complejos unidimensionales), que son los espacios propios de la matriz. El ángulo de rotación en cada plano viene determinado por el argumento del valor propio correspondiente. Estos tres espacios propios están bien definidos a menos que la matriz tenga un valor propio repetido.

Dos transformaciones unitarias conmutan si y sólo si son simultáneamente diagonalizable . Para la mayoría de los pares de transformaciones, esto equivale a tener los mismos tres eigespacios. Sin embargo, la situación se complica un poco más si una de las transformaciones tiene un valor propio repetido: tiene que haber una descomposición común de $\mathbb{C}^3$ en tres eigespacios. El caso más extremo son las matrices escalares, que conmutan con todo.

Para ser precisos, el centralizador de un elemento típico de $U(3)$ es isomorfo a $U(1)\times U(1)\times U(1)$ , donde $U(1)$ es el grupo de los números complejos de módulo unitario. Si una matriz unitaria tiene un valor propio repetido, el centralizador es isomorfo a $U(1)\times U(2)$ o la totalidad de $U(3)$ si la matriz es escalar.

Los subgrupos conmutativos máximos de $U(3)$ son todos isomorfos a $U(1)\times U(1)\times U(1)$ .

Transformaciones ortogonales: Las transformaciones ortogonales son un poco más complicadas. Una típica transformación ortogonal de $\mathbb{R}^6$ tiene tres "planos de rotación" perpendiculares. Cada uno de estos planos es bidimensional y es invariante bajo la rotación. (A diferencia del caso unitario, no se requiere que estos planos sean subespacios complejos). Normalmente, cada plano tiene un ángulo de rotación diferente entre $0^\circ$ y $180^\circ$ . Sin embargo, si algunos de los ángulos son iguales, los planos no están determinados de forma única. Esto es similar al caso de los "valores propios repetidos" anterior. (De hecho, una transformación ortogonal de este tipo tiene valores propios complejos repetidos). Las cosas también se complican cuando uno de los ángulos de rotación es $0^\circ$ y uno es $180^\circ$ .

Para una transformación ortogonal típica con tres planos de rotación y tres ángulos diferentes, su centralizador está formado por todos los elementos que implican los mismos tres planos, y es isomorfo a $SO(2)\times SO(2)\times SO(2)$ (donde $SO(2)$ son rotaciones del círculo unitario, isomorfo al grupo $U(1)$ mencionado anteriormente). Los centralizadores en otros casos son más complicados.

También hay varios tipos de subgrupos conmutativos máximos en el caso ortogonal. Uno de ellos son los subgrupos de la forma $SO(2)\times SO(2)\times SO(2)$ mencionado anteriormente. Sin embargo, existen otros tipos, por ejemplo, el grupo de todas las matrices diagonales con $1$ y $-1$ en la diagonal y el determinante $1$ que tiene $32$ y es isomorfo a $(\mathbb{Z}_2)^5$ .

Answer 2

Si $R_1$ es una rotación (en el espacio $\mathbf{R}^3$ ) en torno al eje $L$ entonces $R_2R_1R_2^{-1}$ es una rotación alrededor del eje $R_2(L)$ . Así que para $R_1$ y $R_2$ para desplazarse, $R_2$ debe mapa $L$ a sí mismo (en cualquier orientación). De esto se deduce fácilmente que, o bien las dos rotaciones (no triviales) deben girar sobre el mismo eje, o bien ambas deben ser rotaciones de 180 grados.

Junto con el mapa de identidad, las rotaciones de 180 grados en torno a un sistema de tres ejes ortogonales cualesquiera forman un grupo isomorfo al grupo de Klein cuatro. Parece que es la única alternativa.

Answer 3

Prueba con rotaciones sobre el mismo eje.