En el libro de texto PDE de Evans, p. 136, 3.4.1 Choques, condición de entropía :
M $$ \left\lbrace \begin{aligned} &v : \Bbb R\times [0, \infty) \to \Bbb R \text{ is smooth, with}\\ &\text{compact support} \end{aligned} \right. \tag{2} $$
Llamamos $v$ a función de prueba . Ahora multiplica la EDP $u_t + F(u)_x = 0$ por $v$ a $$ \begin{aligned} 0&=\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(u_t+F(u)_x)\, v\, dx dt& \\ &=-\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}uv_t\, dxdt - \int_{-\infty}^{\infty}uv\, dx|_{t=0} \\ &\qquad - \int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u)v_x\, dxdt . \end{aligned} \tag{3} $$
Pero mi cálculo es $$\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(u_t+F(u)_x)v dxdt=\\-\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}uv_t dxdt+\int_{-\infty}^{\infty}uv dx|_{t=0}^{\infty}\\+\int_{0}^{\infty}F(u)v dtdx|_{-\infty}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u)v_x dxdt$$
¿Cómo obtener la respuesta?
