Me gustaría saber si puedo intercambiar la integral y la suma infinita de la siguiente manera: $$\int_{0}^{\infty}\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)\mathrm{d}x = \sum_{k = 1}^{\infty}\int_{0}^{\infty} f_k(x)\mathrm{d}x,$$ donde $$f_k(x) = (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\frac{c(ab)^{k}}{2(1+bx)^{k}}x^{k-c-1},$$ con $n \in \mathbb{C}$ , $a \in (0,1]$ , $b > 0$ y $c \in [0, 1]$ .
Ahora según la respuesta de Nate Eldredge ici en general $f_k$ si $\int \sum |f_k| < \infty$ o $\sum \int |f_k| < \infty$ (por Tonelli las dos condiciones son equivalentes), entonces $\int \sum f_k = \sum \int f_k$ .
Mi intento : Traté de probar la segunda condición de la siguiente manera: \begin{align}\sum_{k = 1}^{\infty}\int_{0}^{\infty} |f_k(x)|\mathrm{d}x &= \sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\binom{n}{k}} \frac{c(ab)^{k}}{2} \int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{k-c-1}}{\left(1+b x \right)^{k}}\mathrm{d}x \\ &=\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\binom{n}{k}} \frac{c(ab)^{k}}{2} b^{c-k}\left[\frac{\pi}{\sin(\pi c)}\frac{\Gamma(k-c)}{\Gamma(k)\Gamma(1-c)}\right] \\ & = \frac{b^{c}}{2}\frac{\pi c}{\sin(\pi c)}\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\binom{n}{k}} a^{k} \left[\frac{\Gamma(k-c)}{\Gamma(k)\Gamma(1-c)}\right].\quad (1) \end{align}
No pude demostrar que la última expresión de $(1)$ est $< \infty$ .
¿Mi intento va por buen camino? En caso afirmativo, ¿cómo demostrar que la RHS de $(1)$ est $< \infty$ ? En caso negativo, ¿hay alguna otra forma de demostrar que la integral y el sumatorio infinito pueden intercambiarse?
