¿Por qué podemos escribir los pesos de una representación en términos de las raíces simples?

Question

Actualmente estoy tratando de entender el hecho de que podemos escribir los pesos de cualquier representación en términos de las raíces simples del álgebra.

¿Hay alguna explicación no demasiado técnica?

Entiendo que las raíces son los pesos de la representación adjunta y conozco la definición de raíces simples.

Answer 1

No estoy del todo seguro de qué material le gustaría asumir y qué debería probarse. Así que aquí voy a empezar con algunas definiciones provisionales (para evitar pensar demasiado, siempre trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ ):

Le site radical de un álgebra de Lie es su mayor ideal soluble. Un álgebra de Lie es semi-simple si su radical es $0$ . A Subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie es una subálgebra nilpotente autonormalizadora.

Pasemos ahora al hecho del que depende en última instancia la respuesta a tu pregunta: cada subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple es abeliana (para cualquier álgebra de Lie, las subálgebras de Cartan son conjugadas por el grupo de automorfismos internos, de modo que si una es abeliana, todas lo son). Dado esto, un álgebra de Lie semisimple $L$ se descompone como

$$L=\mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R} L_\alpha,$$ donde $R \subseteq \mathfrak{h}^*$ es el conjunto de raíces y $$L_\alpha=\{x \in L \ | \ [h,x]=\alpha(h) x \}$$ define el subespacio $L_\alpha$ . El conjunto de raíces abarca $\mathfrak{h}^*$ ya que, de lo contrario, el centro de $L$ no es trivial, lo que contradice la semisimplicidad. De ello se deduce que cualquier elemento de $\mathfrak{h}^*$ puede escribirse como una combinación lineal de raíces.

Le site Forma de matar de $L$ se define por $$(x,y)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(x) \mathrm{ad}(y)).$$ Ahora supongamos $L$ semi-simple. Entonces la forma de Killing es no degenerada al restringirla a $\mathfrak{h}$ y, por tanto, nos permite identificar $\mathfrak{h} \cong \mathfrak{h}^*$ . Además, con respecto a esta identificación, la forma de Killing es definida positiva en el tramo real de las raíces.

Pasemos ahora a las raíces simples: una forma rápida de definirlas es elegir un vector $v$ en el tramo real de las raíces y no ortogonales a ninguna raíz, defina el conjunto de raíces positivas el conjunto de $\alpha$ con $(\alpha,v) > 0$ y, a continuación, tomar el conjunto de raíces simples son las raíces positivas que no se pueden escribir como suma de dos raíces positivas. Entonces está claro que toda raíz positiva es una suma de raíces simples, y por lo tanto las raíces simples abarcan $\mathfrak{h}^*$ también.

Es un hecho algo más sutil que los pesos de cualquier representación de dimensión finita son combinaciones enteras de las pesos fundamentales .