Me falta algo de vital importancia la comprensión acerca de álgebras de cuaterniones y en general. Si primero se definen $V=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$. A continuación, definimos el producto escalar de vectores multiplicación, suma e.t.c. Pero como yo lo entiendo, no $1,i,j,k$ destinado a ser vectores, lo que significa que $bi$, por ejemplo, tiene que estar ya definido, incluso para el conjunto definido. Muy confundido! Como de costumbre, gracias por las respuestas!
Respuestas
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Lo que usted escribe para $V$ no es una definición precisa (estrictamente hablando). Se define el $\mathbb{H} := \mathbb{R}^4$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial, de modo que los cuaterniones son $4$-tuplas $(a,b,c,d)$ de los números reales $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Si definimos $1 := (1,0,0,0)$, $i := (0,1,0,0)$, $j := (0,0,1,0)$ y $k := (0,0,0,1)$, luego por la construcción tenemos $(a,b,c,d) = a1 + bi + cj + dk$. Después de eso, uno define el multipliciation de tal manera que las relaciones $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=k$ están satisfechos. Esto es un poco engorroso, sobre todo cuando se quiere comprobar que el $\mathbb{H}$ es de hecho un sesgo de campo. Una forma más elegante es definir $\mathbb{H}$ como el subalgebra $\left\{\begin{pmatrix} z & w \\ -\overline{w} & \overline{z} \end{pmatrix} : z,w \in \mathbb{C}\right\}$$M_2(\mathbb{C})$.
DonAntonio
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En el álgebra de cuaterniones $\;\Bbb H\;,\;\;1,i,j,k\;$ son sólo elementos abstractos, y luego se definen las operaciones y relaciones: $\;i^2=j^2=k^2=-1\;,\;\;ij=k\;$ , etc.
No entiendo cuál es el problema con ver a estos álgebra (o de cualquier otro, por supuesto) elementos como "vectores": como parte de un cuatro dimensiones de espacio vectorial real, todos los elementos son vectores, y por lo tanto usted puede ver $\;bi\;,\;\;b\in\Bbb R\;$ el producto escalar de los vectores $\;i\;$ con los escalares $\;b\;$ , o como parte de un anillo, el producto de los dos anillo de elementos $\;b\,,\,i\;$. Ambos de estos productos, formalmente diferentes, son el mismo desde un álgebra se comporta bien en este sentido.
En resumen: $\;\Bbb H\;$ puede ser visto como una de cuatro dimensiones reales de espacio vectorial, que es también un no-conmutativa anillo (de hecho, una división de álgebra).
rschwieb
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Reflexionar sobre esto: al definir los polinomios de más de $x$ en términos de$x$, ¿tiene problemas para aceptar la $x$ solo como un polinomio?
Si ayuda, sólo podía pensar en $1,i,j,k$ como símbolos, sin propiedades especiales, aparte de ser distintos. A continuación, se definen cuaterniones por
- declarar el conjunto subyacente a ser formal de las expresiones de la forma $a+bi+cj+dk$, cuyos apodos son "cuaterniones."
- declarar que toda la suma de la multiplicación de las reglas que usted necesita para hacer el implícita la adición y la multiplicación significa algo oficial (como $1\cdot x=x$, $ij=-ji$, $ai+bi=(a+b)i$, la distributividad, etc.)
Cuando dos de estos pasos se realizan, los cuatro símbolos originales están representados en el conjunto formal: por ejemplo, $0\cdot 1+1i+0k+0j$ es lo mismo que $i$, y a partir de ahora sería un "cuaterniones."
Tanto el polinomio de anillos y cuaterniones puede verse como la construcción de los anillos de generadores y relaciones.
Supongo que usted está familiarizado con el polinomio de anillos en dos variables, como $F[x,y]$. Cuando construimos los que hay una suposición de que $xy=yx$... pero, ¿realmente necesitamos asumir que? No! La notación $F\langle x,y\rangle$ se utiliza a menudo para denotar el polinomio de anillo en "noncommuting indeterminates," y tiene más elementos en el sentido de que $xy$ $yx$ son cosas diferentes, $xyx$ $x^2y$ son diferentes, y así sucesivamente.
(Y realmente, no hay nada nos detiene para definir aún más el tipo general del polinomio anillo donde la indeterinates son nonassociating, y $(xy)z\neq x(yz)$ y así sucesivamente. Pero tenemos que dejar de divagar por el bien de la discusión :) )
Pero $F\langle x,y \rangle$ $F[x,y]$ es sin duda: es fácil ver que $F[x,y]\cong F\langle x,y \rangle/(xy-yx)$, es decir, el polinomio anillo es un cociente de la noncommuting polinomio anillo. La cosa en el ideal que estamos modding a cabo se conoce como una relación porque se especifica alguna propiedad adicional de que estamos aplicando en el cociente de álgebra.
Otro ejemplo de esto podría ser $\Bbb R[i]/(i^2+1)\cong\Bbb C$: se puede ver, el símbolo de $i$ (nadie dijo nada acerca de un número imaginario todavía) es forzada a tener la propiedad de $i^2=-1$ en el cociente del anillo. Por lo tanto $i$ en el cociente del anillo se convierte en un número complejo, junto con todos los demás elementos.
Por ahora se está notando que si esto tiene sentido para los números complejos, entonces ¿por qué no cuaterniones? En efecto, si tomamos $\Bbb H\cong \Bbb R\langle i,j,k\rangle/(i^2+1,j^2+1,k^2+1,ijk+1)$ ya que esas son todas las relaciones que tenemos que doblar la noncommuting polinomio anillo en los cuaterniones. (Aquellos que no son necesariamente la mejor o la única de las relaciones que va a hacer el truco, pero supongo que son las más conocidas.)
