Estimación del índice de convergencia de una integral

Question

Estoy estudiando la integral $\displaystyle\int_0^w \frac{s\mathrm ds}{(e^s+1)\sqrt{1-(s/w)^2}}$ como $w\to\infty$ . La intuición sugiere que esta integral converge a $\displaystyle\int_0^\infty \frac{s\mathrm ds}{ e^s+1 }=\frac{\pi^2}{12}$ porque la singularidad en $s=w$ es integrable pero la masa obtenida llega a cero gracias a la exponencial, y en todas las demás partes las integradas están próximas (nada de esto es formal, por supuesto).

Al enfoque más formal. Dividimos la integral: $\displaystyle\int_{w/2}^w \frac{s\mathrm ds}{(e^s+1)\sqrt{1-(s/w)^2}}\le \frac{w^2}{2\sqrt{2}(e^{w/2}+1)}\int_{1/2}^1 \frac{ \mathrm ds}{ \sqrt{1- s }}=\frac{w^2}{ 2(e^{w/2}+1)} \to 0$ como $w\to\infty$

y

$\displaystyle\int_0^{w/2} \frac{s\mathrm ds}{(e^s+1)\sqrt{1-(s/w)^2}}$ que converge a $\displaystyle\int_0^\infty \frac{s\mathrm ds}{ e^s+1 }$ mediante el Teorema de Convergencia Dominada.

Ahora me gustaría estimar la tasa de convergencia con todas las constantes en forma cerrada (el conocimiento del comportamiento asintótico no es suficiente, por desgracia). ¿Existe algún método para lograrlo? ¿Quizás, con algún desdoblamiento más complicado de la integral?

Estaré encantado de escuchar todas las sugerencias.

Answer 1

Utilizar la identidad $\dfrac1{\sqrt{1-t}}=1+\dfrac{t}{(1+\sqrt{1-t})\sqrt{1-t}}$ se obtiene $$\int_0^w \frac{s\mathrm ds}{(\mathrm e^s+1)\sqrt{1-(s/w)^2}}=I_\infty+\frac1{w^2}J(w)-K(w),$$ con $$I_\infty=\int_0^\infty \frac{s\mathrm ds}{ \mathrm e^s+1 },\qquad K(w)=\int_w^\infty \frac{s\mathrm ds}{ \mathrm e^s+1 }.$$ y $$J(w)=\int_0^w \frac{s^3\mathrm ds}{(\mathrm e^s+1)\left(1+\sqrt{1-(s/w)^2}\right)\sqrt{1-(s/w)^2}}.$$ Argumentos similares a los utilizados en la pregunta demuestran que $J(w)\to J_\infty$ con $$J_\infty=\int_0^\infty \frac{s^3\mathrm ds}{2(\mathrm e^s+1)}.$$ Por fin, $K(w)\ll\dfrac1{w^2}$ de ahí $$\lim_{w\to\infty}w^2\cdot\left(\int_0^w \frac{s\mathrm ds}{(\mathrm e^s+1)\sqrt{1-(s/w)^2}}-I_\infty\right)=J_\infty.$$ Edita: Para obtener un límite superior de $J$ Obsérvese que $\left(1+\sqrt{1-(s/w)^2}\right)\sqrt{1-(s/w)^2}\geqslant\frac32$ y $\mathrm e^s+1\gt\mathrm e^s$ para cada $s\leqslant\frac12w$ y que $s^2\lt w^2$ , $\mathrm e^s+1\gt\mathrm e^{w/2}$ y $1+\sqrt{1-(s/w)^2}\gt1$ para cada $\frac12w\leqslant s\leqslant w$ . Por lo tanto, $$J(w)\leqslant\frac23\int_0^{w/2}s^3\mathrm e^{-s}\mathrm ds+w^2\mathrm e^{-w/2}\int_{w/2}^w\frac{s\mathrm ds}{\sqrt{1-(s/w)^2}},$$ que, utilizando el cambio de variable $s\to ws$ en la última integral, implica que $$J(w)\leqslant\frac23\int_0^{+\infty}s^3\mathrm e^{-s}\mathrm ds+\max\{w^4\mathrm e^{-w/2};w\gt0\}\cdot\int_{1/2}^1\frac{s\mathrm ds}{\sqrt{1-s^2}},$$ es decir, $J(w)\leqslant\frac23\cdot6+8^4\mathrm e^{-4}\cdot(1-\frac12\sqrt3)\lt15$ .