Una reunión tiene 12 empleados. Dado que 8 de los empleados son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que todos los empleados sean mujeres?

Question

Si utilizo aquí el teorema de Bayes, el suceso A indica que 12 empleados son mujeres y el suceso B indica que 8 empleados son mujeres, (suponiendo que un empleado tiene las mismas probabilidades de ser hombre o mujer) obtengo,

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \times P(A)}{P(B)} = \frac{1 \times (0.5)^{12}}{\binom{12}{8}(0.5)^{12}}=1/\binom{12}{8}$

¿Es ésta la forma correcta de hacerlo? Estoy especialmente confundido porque el género de los empleados son independientes entre sí, y sin embargo estoy utilizando la información que 8 de ellos son mujeres para determinar la probabilidad de que todos ellos son mujeres.

Lo siento si parezco confuso y no tiene sentido.

Answer 1

La confusión viene del hecho de que hay múltiples maneras de interpretar "Dado que 8 empleados son mujeres":

• Si es 8 específico empleados - digamos, los empleados en las posiciones 1 a 8 - entonces los cuatro restantes tienen $2^4$ posibles configuraciones de género, sólo $1$ de los cuales es exclusivamente femenino, dando $\frac{1}{2^4}$

• Si es 8 de los 12 empleados entonces lo que se pide es mirar todos configuraciones de 12 empleados, desecha las que tengan 5 o más hombres, y cuenta la proporción que son todas mujeres.

  Obsérvese que, con arreglo a esta interpretación, cada trabajador de las configuraciones válidas hace no tienen un 50% de posibilidades de ser macho/hembra, ya que suponemos que hay al menos 8 hembras en cada configuración válida. Qué hace tienen la misma oportunidad es cada configuración válida.

La razón por la que esto es confuso es que nuestra intuición asume la primera interpretación, pero la forma en que está redactada la pregunta implica la segunda.

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Existe una famosa "paradoja" estadística que se deriva de esta misma línea de razonamiento:

En una familia con dos hijos, uno de los cuales es niña, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas?

La mayoría de la gente asume que la respuesta es $\frac{1}{2}$ pero en realidad es $\frac{1}{3}$ por la misma razón que la pregunta original. Si sigue confundido, consulte esta respuesta que ofrece una explicación más exhaustiva de la paradoja y su resolución.

Answer 2

Tal vez sería útil estructurar esto de forma más clara, mediante supuestos explícitos. Supongamos que estamos dispuestos a asumir a priori que cada persona tiene la misma probabilidad de ser hombre o mujer, y suponemos que los sexos son mutuamente independientes. Entonces las variables "indicadoras de mujer" para las personas del grupo son:

$$X_1,...,X_{12} \sim \text{IID Bern}(\tfrac{1}{2}).$$

En consecuencia, el número de hembras en el grupo tiene un distribución binomial :

$$\dot{X} \equiv \sum_{i} X_i \sim \text{Bin}(12, \tfrac{1}{2}),$$

y la probabilidad condicional de interés es:

$$\mathbb{P}(\dot{X} = 12 | \dot{X} \geqslant 8) = \frac{\mathbb{P}(\dot{X} = 12)}{\mathbb{P}(\dot{X} \geqslant 8)} = \cdots$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Tienes que ser muy, muy, muy preciso con las afirmaciones que hagas, de lo contrario cualquier resultado será un completo disparate, porque podría ser la respuesta correcta a una pregunta totalmente distinta.

Mi lectura de su pregunta tal y como ha sido formulada me lleva a la respuesta "la probabilidad es cero". Ocho de los doce empleados son mujeres, por lo que cuatro son hombres, así que no todos los empleados son mujeres.

Interpretémoslo como "Alguien eligió 12 empleados al azar y contó cuántos eran mujeres. La respuesta fue un número del ocho al doce". O "Alguien eligió a 12 empleados al azar, luego eligió a ocho de ellos y comprobó su sexo, y los ocho eran mujeres". La situación es muy diferente, y la respuesta muy diferente.

En el primer caso, si eran nueve mujeres, ¿por qué dije "la respuesta era un número del ocho al doce" y no "la respuesta era un número del nueve al doce"? Si eran ocho mujeres, ¿por qué no dije "la respuesta era un número del cero al ocho"? Puede que tenga una agenda para dar la impresión de que muchos empleados o pocos empleados son mujeres, así que si no conoces la agenda, puede que obtengas respuestas diferentes.

Supongamos que te pregunto "¿cuántos hijos tienes?" y respondes "dos". Entonces le digo: "Prefiero los niños a las niñas. Si me dices que tienes al menos un niño, te doy 100 dólares. Si me dices que tienes dos niños, te daré 10.000 dólares. Si mientes, te pego un tiro". Si me dices "tengo al menos un niño", la probabilidad de que tengas dos niños es cero.

Pero aun así, no puedes responder a la pregunta en absoluto. No sabemos cuántos empleados hay, porque tu pregunta no era clara. Sé que había 12 empleados en una reunión, pero no sé cuántos había fuera de la reunión. Obviamente, cuantos más fuera de la reunión, menos probable es que sean todas mujeres. Y no sabemos la probabilidad de que un empleado al azar sea mujer. Usted adivinó que la probabilidad era de 0,5. Yo supondría que la probabilidad es un número desconocido, que las probabilidades de que ocho empleados sean mujeres dependen de ese número, y viceversa, puedes sacar conclusiones a partir del número de mujeres en un grupo cuál es la probabilidad de que algún empleado sea mujer.

Así que replanteemos la pregunta. Has elegido 12 empleados al azar. Yo te digo "Te voy a preguntar por algún atributo que puede tener o no tener cada empleado, y quiero que me digas si el número de empleados del grupo con ese atributo es de ocho a doce o no".

Answer 4

Lo que se observa aquí es que todo el campo de la estadística está plagado de graves problemas de interpretación.

La principal de ellas (y la culpable aquí) es la problema de la clase de referencia . En un marco frecuentista, esto corresponde a asignar su enunciado de "probabilidad" a un espacio bien poblado de resultados (recuérdese que la probabilidad puede ser axiomatizado en términos de espacios de eventos - en un marco bayesiano, la formalización es ligeramente diferente, pero las consecuencias prácticas son las mismas). Para un enunciado como el de este problema, existen múltiples formas de hacerlo, y lo que es peor, no hay una interpretación estadística "correcta" obvia basada únicamente en el enunciado del problema. Necesitamos más información.

Este es uno de los principales problemas de la estadística tal y como se enseña actualmente. La pedagogía matemática tiende a favorecer los ejercicios breves y rápidos: son fáciles de leer y de calificar. Pero la estadística aborrece esto; cualquier enunciado estadístico suficientemente corto está casi destinado a ser ininterpretable.

Answer 5

¿No existe también un sesgo potencial de las probabilidades debido a factores "culturales" (a falta de una palabra mejor)? Si 8 de los empleados son mujeres, ¿quizás se trata de un gimnasio femenino que no contrata a hombres, o quizás es una pequeña empresa dirigida por un empresario que (probablemente de forma ilegal, pero ese es otro tema) sólo o principalmente contrata a mujeres? Tal vez se trate de una reunión de miembros de una profesión mayoritariamente femenina, como la enfermería o la enseñanza primaria.