Distribución de Poisson: $P(X=x)=\frac{\lambda^x e^{x}}{x!}$ ,
Es fácil comprender que la media de la distribución es igual a $\lambda$ pero ¿cuál es la intuición para que la varianza sea igual a $\lambda$ ?
Respuesta
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La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es la suma de sus varianzas. La distribución de Poisson es el límite de una distribución binomial en la que el número de ensayos llega a infinito mientras que el número total esperado de aciertos se mantiene constante en $\lambda$ . Dividir un intervalo de tiempo (digamos, unitario) en $n$ subintervalos y considerar que cada intervalo contiene un éxito con probabilidad $\frac\lambda n$ . La distribución binomial correspondiente es la suma de $n$ Distribuciones Bernoulli, cada una con una expectativa $\frac\lambda n$ y varianza $\frac\lambda n\left(1-\frac\lambda n\right)$ por lo que la expectativa de la suma es $\lambda$ y la varianza de la suma es $\lambda\left(1-\frac\lambda n\right)$ . En $n\to\infty$ la varianza pasa a $\lambda$ .
